[论文解读] Explosion and distances in scale-free percolation

Remco van der Hofstad, Júlia Komjáthy|arXiv (Cornell University)|Jun 8, 2017

Stochastic processes and statistical mechanics参考文献 44被引用 10

一句话总结

本文研究了在 $ℤ^d$ 上的无标度渗滤模型中的加权距离，其中顶点具有独立同分布的幂律权重，边的存在概率取决于权重与反距离的乘积。研究证明，当边权重分布产生具有无限均值幂律后代的爆炸性分支过程时，才会发生爆炸——即在有限时间内到达无限多个顶点。对于非爆炸性边，文章根据参数 $\gamma = \alpha(\tau-1)/d$ 描述了首次通过时间与距离的渐近增长行为，表明其呈现对数或双对数尺度，具体取决于 $\gamma$ 的取值。

ABSTRACT

We investigate the weighted scale-free percolation (SFPW) model on $\mathbb Z^d$. In the SFPW model, the vertices of $\mathbb Z^d$ are assigned i.i.d. weights $(W_x)_{x\in \mathbb Z^d}$, following a power-law distribution with tail exponent $τ>1$. Conditioned on the collection of weights, the edges $(x,y)_{x, y \in \mathbb Z^d}$ are present independently with probability that a Poisson random variable with parameter $λW_x W_y/(\|x-y\|)^α$ is at least one, for some $α, λ>0$, and where $\|\cdot \|$ denotes the Euclidean distance. After the graph is constructed this way, we assign independent and identically distributed (i.i.d.) random edge lengths from distribution $L$ to all existing edges in the graph. The focus of the paper is to determine when is the obtained model \emph{explosive}, that is, when it is possible to reach infinitely many vertices in finite time from a vertex. We show that explosion happens precisely for those edge length distributions that produce explosive branching processes with infinite mean power law offspring distributions. For non-explosive edge-length distributions, when $γ\in (1,2)$, we characterise the asymptotic behaviour of the time it takes to reach the first vertex that is graph distance $n$ away. For $γ>2$, we show that the number of vertices reachable by time $t$ from the origin grows at most exponentially, thus explosion is never possible. For the non-explosive edge-length distributions, when $γ\in (1,2)$, we further determine the first order asymptotics of distances when $γ\in (1,2)$. As a corollary we obtain a sharp upper and lower bound for graph distances, closing a gap between a lower and upper bound on graph distances in Deijfen Hofstad `13 when $γ\in(1,2), τ>2$.

研究动机与目标

• 确定在 $\mathbb{Z}^d$ 上的加权无标度渗滤模型何时发生爆炸，即在有限时间内传播至无限多个顶点。
• 刻画非爆炸性区域中首次通过时间与图距离的渐近行为。
• 解决在参数 $\gamma \in (1,2), \tau > 2$ 的情形下图距离的精确界限这一开放问题。
• 建立空间模型中爆炸现象与具有重尾后代的爆炸性分支过程之间的联系。

提出的方法

• 通过指数 $\tau > 1$ 的幂律分布独立同分布地建模顶点权重。
• 基于泊松机制定义边的存在性，其依赖于顶点权重与距离的 $\alpha > 0$ 次幂倒数。
• 为所有存在的边分配来自分布 $L$ 的独立同分布边权重，以建模传播时间。
• 使用修改后的广度优先探索过程来追踪最短路径，并探索加权图的结构。
• 应用耦合论证与数学归纳法，将探索过程与具有独立同分布边权重的分支过程联系起来。
• 分析临界参数 $\gamma = \alpha(\tau-1)/d$，以分类爆炸行为与距离行为。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种边权重分布条件下，该模型会发生爆炸，即在有限时间内可到达无限多个顶点？
• RQ2 当边权重分布为非爆炸性且 $\gamma \in (1,2)$ 时，图距离为 $n$ 的顶点的首次通过时间的渐近行为如何？
• RQ3 在非爆炸性区域内，典型图距离如何缩放？能否为 $\gamma \in (1,2), \tau > 2$ 建立精确的上下界？
• RQ4 为何空间模型中的爆炸性区域与均场模型（如配置模型）中的爆炸性配置存在根本性差异？

主要发现

• 当且仅当边权重分布产生具有无限均值幂律后代的爆炸性分支过程时，该模型才会发生爆炸。
• 对于非爆炸性边权重分布且 $\gamma = \alpha(\tau-1)/d \in (1,2)$ 的情形，图距离为 $n$ 的顶点的首次通过时间渐近增长为 $\log \log n$。
• 当 $\gamma > 2$ 时，从原点在时间 $t$ 内可达的顶点数最多呈指数增长，因此爆炸不可能发生。
• 当 $\gamma \in (1,2)$ 且边权重非爆炸性时，本文建立了图距离的精确上下界，解决了文献 [28] 中的开放问题。
• 在爆炸性区域中，距离难以刻画，原因在于存在无限多个顶点且 $\mathbb{Z}^d$ 不是紧致的，这与均场模型中距离收敛于两个爆炸时间之和的情形不同。
• 本文揭示了空间模型与配置模型之间的根本差异：在后者中，典型距离收敛于两个爆炸时间之和，但在空间模型中，由于几何约束和无限顶点集的存在，这一结论不成立。