[论文解读] Extreme value copula estimation based on block maxima of a multivariate stationary time series

Axel Bücher, Johan Segers|arXiv (Cornell University)|Nov 13, 2013

Financial Risk and Volatility Modeling参考文献 34被引用 1

一句话总结

本文提出了一种基于多变量平稳时间序列的块最大值（block maxima）来非参数估计极值Copula的方法。在弱依赖条件（绝对混合度量，absolutely regular mixing）下，块最大值的经验Copula收敛于真实的极限极值Copula，该估计具有一致性和渐近正态性；该框架使得在无需参数假设的前提下，能够对Pickands依赖函数进行有效的基于秩的估计。

ABSTRACT

The core of the classical block maxima method consists of fitting an extreme value distribution to a sample of maxima over blocks extracted from an underlying series. In asymptotic theory, it is usually postulated that the block maxima are an independent random sample of an extreme value distribution. In practice however, block sizes are finite, so that the extreme value postulate will only hold approximately. A more accurate asymptotic framework is that of a triangular array of block maxima, the block size depending on the size of the underlying sample in such a way that both the block size and the number of blocks within that sample tend to infinity. The copula of the vector of componentwise maxima in a block is assumed to converge to a limit, which, under mild conditions, is then necessarily an extreme value copula. Under this setting and for absolutely regular stationary sequences, the empirical copula of the sample of vectors of block maxima is shown to be a consistent and asymptotically normal estimator for the limiting extreme value copula. Moreover, the empirical copula serves as a basis for rank-based, nonparametric estimation of the Pickands dependence function of the extreme value copula. The results are illustrated by theoretical examples and a Monte Carlo simulation study.

研究动机与目标

• 在弱依赖条件下，为多变量块最大值的极限极值Copula开发一个一致且渐近正态的估计量。
• 证明即使块最大值是依赖的（而非经典理论中的独立情形），块最大值的经验Copula仍然有效。
• 利用经验Copula过程实现对Pickands依赖函数的非参数估计。
• 将块最大值方法从i.i.d.假设推广至一般的平稳、弱依赖多变量时间序列。
• 为在块最大值近似服从极值分布且弱依赖的时间序列中进行极值分析，提供理论基础。

提出的方法

• 采用三角阵列的块最大值，其中块大小和块数均趋于无穷。
• 将块最大值向量的经验Copula用作极限极值Copula的非参数估计量。
• 应用弱收敛理论，证明在绝对混合度量条件下，经验Copula过程收敛于高斯过程。
• 以经验Copula为基础，通过最小距离估计法估计Pickands依赖函数。
• 依赖于极限过程与从真实极限Copula中独立抽取样本的极限过程渐近等价的性质。
• 在一般混合条件（特别是绝对混合度量，β-mixing）下建立收敛结果。

实验结果

研究问题

• RQ1 当底层时间序列是弱依赖而非i.i.d.时，块最大值的经验Copula是否仍保持一致性和渐近正态性？
• RQ2 在存在时间依赖的时间序列设定下，经验Copula能否用于非参数估计Pickands依赖函数？
• RQ3 在块大小和块数均增加的三角阵列渐近下，经验Copula过程的极限分布是什么？
• RQ4 时间依赖如何影响经验Copula的渐近分布，与i.i.d.情形相比有何不同？
• RQ5 在弱依赖的多变量时间序列中，块最大值的Copula在何种条件下收敛于极值Copula？

主要发现

• 在绝对混合度量条件下，块最大值的经验Copula是一致且渐近正态的极限极值Copula估计量。
• 经验Copula过程的极限过程与从极限Copula中独立抽取样本的情形相同，均为高斯过程。
• Pickands依赖函数的最小距离估计量的渐近分布与i.i.d.情形下的结果一致。
• 极限极值Copula必然是最大稳定（max-stable）的，其依赖结构由Pickands依赖函数刻画。
• 经验Copula对极限极值Copula的收敛在(0,1]^d的紧子集上是一致的。
• 理论框架证明了即使块最大值是依赖的且仅近似服从极值分布，块最大值方法在多变量极值分析中依然适用。