[论文解读] Fine-Grained Completeness for Optimization in P

Karl Bringmann, Alejandro Cassis+2 more|arXiv (Cornell University)|Jan 1, 2021

Complexity and Algorithms in Graphs参考文献 14被引用 1

一句话总结

本文通过引入 MaxSP 和 MinSP 类，为 P 中的优化问题建立了细粒度完备性。MaxSP 和 MinSP 定义为在关系结构上的无量词一阶公式中，最大化或最小化满足元组的数量。证明了最大/最小内积问题在确定性细粒度归约下是完备的，这意味着若该问题存在亚二次时间算法或近似算法，将导致 MaxSP/MinSP 中所有问题的更快算法，且与正交向量假设存在紧密联系。

ABSTRACT

We initiate the study of fine-grained completeness theorems for exact and approximate optimization in the polynomial-time regime. Inspired by the first completeness results for decision problems in P (Gao, Impagliazzo, Kolokolova, Williams, TALG 2019) as well as the classic class MaxSNP and MaxSNP-completeness for NP optimization problems (Papadimitriou, Yannakakis, JCSS 1991), we define polynomial-time analogues MaxSP and MinSP, which contain a number of natural optimization problems in P, including Maximum Inner Product, general forms of nearest neighbor search and optimization variants of the $k$-XOR problem. Specifically, we define MaxSP as the class of problems definable as $\max_{x_1,\dots,x_k} \#\{ (y_1,\dots,y_\ell) : ϕ(x_1,\dots,x_k, y_1,\dots,y_\ell) \}$, where $ϕ$ is a quantifier-free first-order property over a given relational structure (with MinSP defined analogously). On $m$-sized structures, we can solve each such problem in time $O(m^{k+\ell-1})$. Our results are: - We determine (a sparse variant of) the Maximum/Minimum Inner Product problem as complete under *deterministic* fine-grained reductions: A strongly subquadratic algorithm for Maximum/Minimum Inner Product would beat the baseline running time of $O(m^{k+\ell-1})$ for *all* problems in MaxSP/MinSP by a polynomial factor. - This completeness transfers to approximation: Maximum/Minimum Inner Product is also complete in the sense that a strongly subquadratic $c$-approximation would give a $(c+\varepsilon)$-approximation for all MaxSP/MinSP problems in time $O(m^{k+\ell-1-δ})$, where $\varepsilon > 0$ can be chosen arbitrarily small. Combining our completeness with~(Chen, Williams, SODA 2019), we obtain the perhaps surprising consequence that refuting the OV Hypothesis is *equivalent* to giving a $O(1)$-approximation for all MinSP problems in faster-than-$O(m^{k+\ell-1})$ time.

研究动机与目标

• 为 P 中的优化问题建立细粒度完备性的框架。
• 将 MaxSP 和 MinSP 定义为可表示为关系结构上无量词一阶公式解计数的优化问题类。
• 识别一个自然问题——最大/最小内积问题——作为 MaxSP/MinSP 在确定性细粒度归约下的完备问题。
• 证明若该问题存在亚二次时间算法或近似算法，则可推出 MaxSP/MinSP 中所有问题的更快算法。
• 通过紧密归约将 P 中优化的困难性与正交向量假设联系起来。

提出的方法

• 将 MaxSP 和 MinSP 定义为参数化于关系结构上无量词一阶公式中变量数和关系数的优化问题类。
• 引入最大/最小内积问题的一个稀疏变体，作为 MaxSP/MinSP 的完备问题候选。
• 构建从所有 MaxSP/MinSP 问题到最大/最小内积问题的确定性细粒度归约，保持解的质量和运行时间界限。
• 使用着色编码和谓词替换技术，将多关系实例归约为带一元谓词的单谓词实例。
• 应用维数约简和实例变换，消除一元谓词和交叉边谓词，归约为混合问题（Hybrid Problem）。
• 利用已知的算法结果（例如 Chen 和 Williams 的工作），将最大/最小内积问题的算法改进传递到 MaxSP/MinSP 中的所有问题。

实验结果

研究问题

• RQ1 是否存在一个 P 中的自然问题，在细粒度归约下对 P 中广泛优化问题类是完备的？
• RQ2 能否以类似于 MaxSNP-完全性对 NP 优化问题的方式，为 P 中的优化建立细粒度完备性？
• RQ3 若对最大/最小内积问题获得强亚二次时间算法，其算法后果是什么？
• RQ4 P 中优化的困难性与正交向量假设之间有何关系？
• RQ5 能否建立近似完备性，使得对完备问题的快速近似算法可推出 MaxSP/MinSP 中所有问题的快速近似算法？

主要发现

• 最大/最小内积问题在确定性细粒度归约下对 MaxSP/MinSP 是完备的：若其存在强亚二次时间算法，则可为 MaxSP/MinSP 中所有问题带来多项式时间加速。
• 若最大/最小内积问题存在强亚二次 c-近似算法，则对所有 MaxSP/MinSP 问题可在 O(mk+ℓ−1−δ) 时间内实现 (c + ε)-近似，其中 δ > 0 任意小，ε > 0 任意小。
• 否定正交向量假设等价于在快于 O(mk+ℓ−1) 时间内对所有 MinSP 问题实现 O(1)-近似。
• 归约保持了问题的结构，通过利用最大/最小内积问题的最快已知算法，可为所有 MaxSP/MinSP 问题带来适度的算法改进。
• 该框架使得可通过细粒度归约，将单一完备问题上的算法进展推广至 MaxSP/MinSP 的整个问题类。
• 结果在 P 中的细粒度复杂性与近似难度之间建立了紧密联系，将完备性理论从决策问题扩展至优化问题。