[论文解读] Finite Block Length Analysis on Quantum Coherence Distillation and Incoherent Randomness Extraction

Masahito Hayashi, Kun Fang+1 more|arXiv (Cornell University)|Feb 27, 2020

Quantum Information and Cryptography参考文献 88被引用 8

一句话总结

本论文首次对各类自由操作类下的量子相干性 distillation 及非相干随机性提取进行了系统性的二阶渐近分析。它建立了可 distill 的相干性与可提取的随机性之间的精确一一对应关系，表明在非相干操作类下，两者的二阶展开完全相同，并将该结论推广至辅助设置，利用假设检验相对熵得出了紧致的表征。

ABSTRACT

We give the first systematic study on the second order asymptotics of the operational task of coherence distillation with and without assistance. In the unassisted setting, we introduce a variant of randomness extraction framework where free incoherent operations are allowed before the incoherent measurement and the randomness extractors. We then show that the maximum number of random bits extractable from a given quantum state is precisely equal to the maximum number of coherent bits that can be distilled from the same state. This relation enables us to derive tight second order expansions of both tasks in the independent and identically distributed setting. Remarkably, the incoherent operation classes that can empower coherence distillation for generic states all admit the same second order expansions, indicating their operational equivalence for coherence distillation in both asymptotic and large block length regime. We then generalize the above line of research to the assisted setting, arising naturally in bipartite quantum systems where Bob distills coherence from the state at hand, aided by the benevolent Alice possessing the other system. More precisely, we introduce a new assisted incoherent randomness extraction task and establish an exact relation between this task and the assisted coherence distillation. This strengthens the one-shot relation in the unassisted setting and confirms that this cryptographic framework indeed offers a new perspective to the study of quantum coherence distillation. Likewise, this relation yields second order characterizations to the assisted tasks. As by-products, we show the strong converse property of the aforementioned tasks from their second order expansions.

研究动机与目标

• 建立有限块长下相干性 distillation 与非相干随机性提取的严谨二阶渐近框架。
• 研究不同非相干操作类在提取相干性与随机性方面的操作等价性。
• 将相干性 distillation 与随机性提取之间的对偶性推广至两体量子系统中的辅助设置。
• 利用二阶展开推导两项任务的强 converse 性质。
• 通过假设检验相对熵，提供依赖于 ε² 的紧致有限块长表征。

提出的方法

• 引入一种随机性提取的变体，其中在非相干测量和提取器之前应用自由的非相干操作。
• 利用 Nussbaum-Szkołła 分布，建立相干性 distillation 与非相干随机性提取之间的精确单次对偶性。
• 应用假设检验相对熵，推导出依赖于 ε² 的单次界，从而实现二阶展开。
• 利用对偶性将无辅助结果推广至辅助设置，其中 Alice 通过局部操作与经典通信协助 Bob。
• 利用中心极限定理型近似，推导出在独立同分布设置下，可 distill 的相干性与可提取随机性的二阶展开。
• 通过分析二阶项中的收敛速率，证明强 converse 定理，表明在极限下，速率与误差之间不存在任何权衡。

实验结果

研究问题

• RQ1 在不同类别的非相干操作下，可 distill 的相干性的二阶渐近展开是什么？
• RQ2 在有限块长范围内，预测量非相干操作的引入如何影响可提取的随机性？
• RQ3 在无辅助与辅助设置下，相干性 distillation 与非相干随机性提取之间是否存在精确的操作对偶性？
• RQ4 能否利用假设检验相对熵对辅助相干性 distillation 与随机性提取的二阶展开进行表征？
• RQ5 相干性 distillation 与随机性提取任务的强 converse 行为是什么？它如何通过二阶分析揭示？

主要发现

• 通过非相干操作从量子态中可提取的最大随机位数，恰好等于从同一态中可 distill 的相干位数。
• 所有能从通用态中 distill 相干性的非相干操作类，其二阶展开完全相同，表明在渐近与有限块长范围内均具有操作等价性。
• 无辅助设置下，相干性 distillation 与非相干随机性提取的二阶展开为 $ nC + \sqrt{n} \cdot \sqrt{V} \cdot z_{\varepsilon} + o(\sqrt{n}) $，其中 $ C $ 为一阶速率，$ V $ 为方差项。
• 在辅助设置下，可 distill 的相干性与可提取随机性的二阶展开完全相同，且对假设检验相对熵具有相同的依赖关系。
• 两项任务的强 converse 性质均成立，通过二阶展开得到证明，排除了在极限下速率与误差之间的任何权衡。
• 分析表明，在测量前优化非相干操作最多可提升可提取随机性 $ O(\log n) $，表明在无辅助情况下，高阶项中无任何优势。