[论文解读] Floer homology of Lagrangians in clean intersection

Felix Schmäschke|arXiv (Cornell University)|Jun 16, 2016

Geometric and Algebraic Topology参考文献 38被引用 20

一句话总结

本论文为单调辛流形中处于干净交点的闭拉格朗日子流形对构建了莫尔斯-博特定 Floer 同调理论。通过利用作用滤子和相对 Maslov 指标构造的谱序列，该研究在 Z2 上计算了 Floer 同调，并建立了收敛于 HF∗(L0, L1) 的谱序列，其在辛拓扑中的位移与对偶性结果方面具有应用。

ABSTRACT

We consider Floer homology associated to a pair of closed Lagrangian submanifolds that satisfy a monotonicty assumption. If the Lagrangians intersect cleanly we decribe two spectral sequences which help to compute their Floer homology. The spectral sequences are constructed using a Morse-Bott version of Floer homology. We give a full treatment of the theory including orientations.

研究动机与目标

• 为在单调辛流形中干净相交的拉格朗日子流形构建 Floer 同调理论。
• 构造两个谱序列以计算此类对的 Floer 同调，一个全局谱序列与一个局部谱序列。
• 在干净交点与相对自旋结构的背景下，对定向进行完整处理。
• 建立收敛于完整 Floer 同调的谱序列，以及收敛于 Z2 上局部版本的谱序列。
• 基于交点的拓扑结构与 Maslov 指标，推导拉格朗日子流形的位移与对偶性结果。

提出的方法

• 通过路径空间 P(L0, L1) 上的哈密顿作用泛函，构建 Floer 同调的莫尔斯-博特版本。
• 引入以 L0 ∩ L1 的连通分支 Cj 的辛面积 A(Cj) 为指标的作用滤子。
• 为每个分支 Cj 定义 Robbin-Salamon 指数 µ(Cj)，以在谱序列中分配分次。
• 使用局部谱序列 Eloc,∗∗，其第一页由系数为 Z2 的分支 Cj 的同调构成，按 µ(Cj) 分次。
• 应用粘合理论与柯西-黎曼-Floer 算子的弗雷德霍姆理论，以保证横截性与紧致性。
• 通过相对自旋结构建立定向，并证明谱序列在哈密顿同伦下保持不变。

实验结果

研究问题

• RQ1 当两个拉格朗日子流形干净相交而非横截相交时，如何计算 Floer 同调？
• RQ2 在干净交点情形下，作用滤子会产生何种谱序列？它们与完整 Floer 同调有何关系？
• RQ3 在何种条件下，干净相交拉格朗日子流形的 Floer 同调非平凡？这会施加何种拓扑约束？
• RQ4 交点分支的 Maslov 指数与辛面积如何影响谱序列的结构？
• RQ5 在单调情形下，谱序列结构能导出何种位移与对偶性结果？

主要发现

• 局部 Floer 同调 HFloc∗ 在 Z2 上的谱序列 Eloc,∗∗ 收敛，其 E1 页同构于按其 Maslov 指数 µ(Cj) 分次的交点分支 Cj 同调的直和。
• 完整 Floer 同调 HF∗(L0, L1) 同构于全局谱序列 E∗∗ 的 E∞ 页的直和。
• 全局谱序列满足 E1∗∗ ≅ Z2[λ±1] ⊗ HFloc∗，其中 deg λ = −N，反映了单调性条件（N ≥ 3）。
• 若 L0 可从 L1 位移且沿连通流形 C 干净相交，则 N ≤ dim C + 1。
• 当 2N > dim C + 1 时，谱序列中唯一可能非平凡的微分是 ∂N，从而在中间度数范围内诱导对偶同构 Hk(C; Z2) ≅ Hk+N−1(C; Z2)。
• 谱序列结构证明：在给定的拓扑约束下，若 L0 可位移，则 HF∗(L0, L1) 为零。