[论文解读] Formulas for the coefficients of half-integral weight harmonic Maass forms

Claudia Alfes‐Neumann|arXiv (Cornell University)|Sep 24, 2012

Advanced Mathematical Identities参考文献 18被引用 4

一句话总结

本文将Bruinier-Funke与Bruinier-Ono的theta提升推广至所有半整数权的余调Maass形式，给出了傅里叶系数关于CM值迹与扭迹的显式公式。它建立了权重$k$与$2-k$之间的对偶性，从而统一处理了所有半整数权重，并将权重$1/2-k$（$k$为奇数）的提升中非全纯部分与被提升函数的特殊$L$-值联系起来。

ABSTRACT

Recently, Bruinier and Ono proved that the coefficients of certain weight -1/2 harmonic weak Maaß forms are given as "traces" of singular moduli for harmonic weak Maaß forms. Here, we prove that similar results hold for the coefficients of harmonic weak Maaß forms of weight $3/2+k$, $k$ even, and weight $1/2-k$, $k$ odd, by extending the theta lift of Bruinier-Funke and Bruinier-Ono. Moreover, we generalize their result to include extit{twisted} traces of singular moduli using earlier work of the author and Ehlen. Employing a duality result between weight $k$ and $2-k$, we are able to cover all half-integral weights. We also show that the non-holomorphic part of the theta lift in weight $1/2-k$, $k$ odd, is connected to the vanishing of the special value of the $L$-function of a certain derivative of the lifted function.

研究动机与目标

• 将Bruinier-Funke与Bruinier-Ono的theta提升推广至所有半整数权重，涵盖权重$3/2+k$与$1/2-k$中的偶数和奇数$k$。
• 通过早期关于扭Bruinier-Funke提升的工作，将奇异模的扭迹理论扩展至包含在内。
• 建立权重$k$与$2-k$之间的对偶性，以统一处理所有半整数权重。
• 将权重$1/2-k$（$k$为奇数）的theta提升中非全纯部分与被提升函数的特殊$L$-值的消失联系起来。
• 提供余调Maass形式傅里叶系数的显式公式，以CM-迹数据表示，包括对模态theta函数与分拆函数的应用。

提出的方法

• 本文构造了一个扭的Kudla-Millson theta核，以将theta提升推广至更高半整数权重。
• 它利用Maaß提升与下降算子，根据$k$的奇偶性将提升的权重从$-2k$调整至$3/2+k$或$1/2-k$。
• 该方法使用具有表示$ar{\rho}$的向量值余调Maass形式，并定义了包含Heegner点与类特征的模形式迹函数$\mathbf{t}_{\Delta,r}(f;d,h)$。
• 通过权重$k$与$2-k$之间的对偶性，覆盖所有半整数权重，利用权重$k$形式的对偶是权重$2-k$形式的事实。
• 通过Poincaré级数计算提升，并将所得模形式的主部与已知形式（如Ramanujan的模态theta函数$f(q)$）匹配。
• 通过$特L$-函数特殊值分析提升的非全纯部分，特别是当$k$为奇数时，将其与被提升函数的$L$-值消失联系起来。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何将Bruinier-Funke与Bruinier-Ono的theta提升推广至所有半整数权重，包括偶数和奇数$k$？
• RQ2 奇异模的扭迹在半整数权重余调Maass形式的系数公式中起什么作用？
• RQ3 权重$k$与$2-k$之间的对偶性如何实现所有半整数权重在系数公式中的统一处理？
• RQ4 权重$1/2-k$（$k$为奇数）的theta提升中非全纯部分与被提升函数的特殊$L$-值之间存在何种联系？
• RQ5 能否利用此广义提升与对偶性推导出模态theta函数傅里叶系数的显式公式？

主要发现

• 权重$3/2+k$（$k$为偶数）与$1/2-k$（$k$为奇数）的余调Maass形式的傅里叶系数由权重$-2k$的被提升余调Maass形式的CM值迹给出，通过Maaß提升算子扩展。
• 当$k$为偶数时，提升的$(d,h)$-阶傅里叶系数为$(-4\pi d)^{k/2}$乘以扭迹$\mathbf{t}_{\Delta,r}(f;d,h)$，其中$f$为权重$-2k$的函数。
• 当$k$为奇数时，权重$1/2-k$的theta提升中非全纯部分被证明与被提升函数的特殊$L$-值消失相关。
• Ramanujan的模态theta函数$f(q)$的系数$a_f\left(\frac{|\Delta|+1}{24}\right)$被表示为扭迹的线性组合：$-\frac{1}{8i\sqrt{|\Delta|}}(\mathbf{t}_{\Delta,1}(F;1,1) - \mathbf{t}_{\Delta,1}(F;1,5) + \mathbf{t}_{\Delta,1}(F;1,7) - \mathbf{t}_{\Delta,1}(F;1,11))$，其中$F$为权重0的弱全纯模形式。
• 提升$\Lambda^\circ(\tau,F)$的主部被证明与$G_{25}(\tau) = (q^{-25/24} + 25q^{-1/24})(\mathfrak{e}_1 - \mathfrak{e}_5 - \mathfrak{e}_7 + \mathfrak{e}_{11})$匹配，通过双对偶性确认了公式的正确性。
• 主部为$q^{-1}$的Poincaré级数的提升产生一个主部为$2i|\Delta|^{1/2}q^{-|\Delta|/24}(\mathfrak{e}_1 - \mathfrak{e}_5 + \mathfrak{e}_7 - \mathfrak{e}_{11})$的形式，与模态theta函数$f(q)$所需的分量完全匹配。