[论文解读] On CM values of Borcherds products and harmonic weak Maass forms of weight one

Stephan Ehlen|arXiv (Cornell University)|Aug 11, 2012

Advanced Algebra and Geometry参考文献 13被引用 4

一句话总结

本文证明了在正交模簇上，Borcherds 乘积的 CM 值可表示为权为一的非全纯弱 Maass 形式之正则部分系数的线性组合。通过正规化 theta 提升与 $ξ$-算子，证明了这些 CM 值作为傅里叶系数的线性组合出现，将 Gross-Zagier 关于奇异模的定理推广至高秩正交群。

ABSTRACT

We show that the values of Borcherds products on Shimura varieties of orthogonal type at certain CM points are given in terms of coefficients of the holomorphic part of weight one harmonic weak Maass forms. Furthermore, we investigate the arithmetic properties of these coefficients. As an example, we obtain an analog of the Gross-Zagier theorem on singular moduli.

研究动机与目标

• 理解正交模簇上 Borcherds 乘积的 CM 值的算术性质。
• 将这些 CM 值与权为一的非全纯弱 Maass 形式的傅里叶系数联系起来。
• 将 Gross-Zagier 关于奇异模的定理推广至高秩正交群。
• 利用正规化 theta 提升与 $ξ$-算子，建立 CM 值的精确公式。
• 刻画由 CM 循环产生的权为一的非全纯弱 Maass 形式之正则部分的系数特征。

提出的方法

• 利用正规化 theta 提升，通过 $ξ$-算子将 Borcherds 乘积与非全纯弱 Maass 形式关联起来。
• 应用 $ξ$-算子，将非全纯弱 Maass 形式映射为权为一的弱全纯模形式。
• 利用 theta 提升，将 Borcherds 乘积的 CM 值表示为模形式内积中的常数项。
• 利用 Kohnen 正空间中向量值与标量值弱全纯模形式之间的同构关系。
• 施加条件 $\prod_{p\mid D}(1 + 1/p) \leq 3$，以确保预像中某些傅里叶系数为零。
• 推导出 CM 值的显式公式，表示为加权和 $\sum_{n\equiv 0,1\bmod 4} f_d(n) \sum_{m\in\mathbb{Z}} \delta(m) \, c_{[\mathfrak{a}(h)]^2}^+(n)$，其中权重函数为输入形式 $f_d$。

实验结果

研究问题

• RQ1 正交模簇上 Borcherds 乘积的 CM 值如何与权为一的非全纯弱 Maass 形式的系数相关？
• RQ2 能否通过非全纯弱 Maass 形式将 Gross-Zagier 关于奇异模的定理推广至高秩正交群？
• RQ3 由 CM 循环产生的权为一的非全纯弱 Maass 形式之正则部分的系数具有怎样的精确算术结构？
• RQ4 在何种条件下，可选择 $ξ$-算子的预像，使得某些傅里叶系数为零？
• RQ5 正规化 theta 提升如何通过模形式内积编码 CM 值？

主要发现

• 在 CM 点处，Borcherds 乘积的 CM 值由权为一的非全纯弱 Maass 形式之正则部分的傅里叶系数的线性组合给出。
• CM 值的公式表示为 $\sum_{n\equiv 0,1\bmod 4} f_d(n) \sum_{m\in\mathbb{Z}} \delta(m) \, c_{[\mathfrak{a}(h)]^2}^+\left(\frac{nD - m^2}{4}\right)$，其中 $f_d$ 为权为 $1/2$ 的弱全纯模形式。
• 当 $\prod_{p\mid |D|}(1 + 1/p) \leq 3$ 时，系数 $c_{[\mathfrak{a}(h)]^2}^+(n)$ 对所有 $n > 0$ 为零，从而简化表达式。
• 该结果推广了 Gross-Zagier 定理：对负基本判别式 $d$，有 $\Phi(\alpha_{\mathfrak{a}}, F_d) = -4\log\left|\prod_{\mathfrak{b}\in\operatorname{Cl}(-d)}(j(\alpha_{\mathfrak{a}}) - j(\alpha_{\mathfrak{b}}))\right|^{2/w_d}$。
• 证明了非全纯弱 Maass 形式 $\theta_{[\mathfrak{a}(h)]^2}^\prime$ 的正则部分是 $\xi_1$ 下 $\theta_{[\mathfrak{a}(h)]^2}$ 的原像。
• 该构造将 $\theta_{[\mathfrak{a}(h)]^2}^\prime$ 识别为 $\mathcal{H}_1(\Gamma_0(|D|), \chi_D)$ 中的标量值非全纯弱 Maass 形式，从而实现系数的显式计算。