[论文解读] Framed Rank r Torsion-free Sheaves on CP^2 and Representations of the Affine Lie Algebra \hat{gl(r)}

Anthony Licata|ArXiv.org|Jul 26, 2006

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 11被引用 5

一句话总结

本文通过 $\mathbb{C}P^2$ 上的秩 $r$ 框架化无挠层模空间的等变上同调，构造了仿射李代数 $\widehat{gl}(r)$ 的一级和 $k$ 级不可约表示的几何实现。通过引入 $\mathbb{Z}_k$-作用并分析其不动点分支，作者在 Nakajima quiver 变体上实现了 $k$ 级表示，建立了 $\widehat{gl}(r)$ 在 $k$ 级与 $\widehat{gl}(k)$ 在 $r$ 级之间的几何层-秩对偶性。该工作扩展了 Nakajima 的构造，并为全息-费米子对偶性提供了几何解释。

ABSTRACT

We construct geometric realizations of the r-colored bosonic and fermionic Fock space on the equivariant cohomology of the moduli space of framed rank r torsion-free sheaves on CP^2. Using these constructions, we realize geometrically all level one irreducible representations of the affine Lie algebra \hat{gl(r)}. The cyclic group Z_k acts naturally on the moduli space of sheaves, and the fixed-point components of this action are cyclic Nakajima quiver varieties . We realize level k irreducible representations of \hat{gl(r)} on the equivariant cohomology of these quiver varieties.

研究动机与目标

• 通过 $\mathbb{CP}^2$ 上的框架化无挠层模空间构造仿射李代数 $\widehat{gl}(r)$ 不可约表示的几何实现。
• 将先前关于 Heisenberg 代数和 Clifford 代数作用于上同调的几何构造扩展至包含 $\widehat{gl}(r)$ 的高阶表示。
• 通过不动点子簇的等变上同调，建立 $\widehat{gl}(r)$ 在 $k$ 级与 $\widehat{gl}(k)$ 在 $r$ 级之间的几何层-秩对偶性。
• 通过层模空间上 Heisenberg 与 Clifford 代数作用的相互作用，为全息-费米子对偶性提供几何解释。

提出的方法

• 利用 $\mathbb{CP}^2$ 上秩 $r$ 无挠层模空间 $M_{\vec{l}}(r,n)$，其第二陈类为 $n$，并配备由 $\vec{l} \in \mathbb{Z}^r$ 指定的环面作用。
• 应用等变局部化，将 $M_{\vec{l}}(r,n)$ 的等变上同调与其中不动点子簇的上同调相关联，特别是与 Hilbert 滑块 $\mathbb{C}^2^{[n_i]}$ 的乘积相关联。
• 在 $M_{\vec{l}}(r,n)$ 的等变上同调上构造算子，以实现无限维 Heisenberg 代数与 Clifford 代数的关系。
• 在 $M_{\vec{l}}(r,n)$ 上引入 $\mathbb{Z}_k$-作用，其不动点分支同构于与 $\widehat{sl}(k)$ 的仿射 Dynkin 图相关的循环 Nakajima quiver 变体。
• 在不动点簇 $M_{\vec{l}}(r,n)^{\mathbb{Z}_k}$ 的乘积中定义对应关系，以实现 $k$ 级 Heisenberg 代数的作用，从而得到 $\widehat{gl}(r)$ 的表示。
• 建立不动点簇的等变上同调与 Fock 空间 $\mathcal{B}^r_k$ 之间的同构，从而实现 $\widehat{gl}(r)$ 的 $k$ 级表示的几何实现。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何利用 $\mathbb{CP}^2$ 上框架化层模空间的等变上同调来实现仿射李代数 $\widehat{gl}(r)$ 的表示？
• RQ2 $\mathbb{Z}_k$-作用在模空间 $M_{\vec{l}}(r,n)$ 上的几何角色是什么？它如何导致 $\widehat{gl}(r)$ 的高阶表示？
• RQ3 全息-费米子对偶性是否可通过层模空间上 Heisenberg 与 Clifford 代数作用的相互作用实现几何化？
• RQ4 是否存在 $\widehat{gl}(r)$ 在 $k$ 级与 $\widehat{gl}(k)$ 在 $r$ 级之间的几何层-秩对偶性？若存在，其在上同调中如何实现？
• RQ5 $U(r)$-瞬子在 $\widetilde{\mathbb{C}^2/\mathbb{Z}_k}$ 上的模空间与 $U(k)$-瞬子在 $\widetilde{\mathbb{C}^2/\mathbb{Z}_r}$ 上的模空间之间有何关系？这与上同调中的对偶性有何关联？

主要发现

• 直和 $\bigoplus_{\vec{l},n} H^{mid}_T(M_{\vec{l}}(r,n), \mathbb{C})$ 携带无限维 Clifford 代数不可约模的几何实现。
• 对任意固定的 $\vec{l} \in \mathbb{Z}^r$，空间 $\bigoplus_n H^{mid}_T(M_{\vec{l}}(r,n), \mathbb{C})$ 实现了无限维 Heisenberg 代数的不可约模。
• 子空间 $\bigoplus_{\vec{l} \in Q, n} H^{mid}_T(M_{\vec{l}}(r,n), \mathbb{C})$，其中 $Q = \{ \vec{l} \mid \sum l_i = 0 \}$，几何实现了 $\widehat{gl}(r)$ 的基本（一级）表示。
• $M_{\vec{l}}(r,n)$ 的 $\mathbb{Z}_k$-不动点分支同构于与 $\widehat{sl}(k)$ 的仿射 Dynkin 图相关的循环 Nakajima quiver 变体。
• 空间 $\mathcal{B}^r_k = \bigoplus_{\vec{l},n} H^{mid}_T(M_{\vec{l}}(r,n)^{\mathbb{Z}_k}, \mathbb{C})$ 携带 $\widehat{gl}(r)$ 的 $k$ 级不可约表示的直和的几何实现。
• 作者建立了几何层-秩对偶性：$\mathcal{B}^r_k$ 同时携带 $\widehat{gl}(r)$ 的 $k$ 级表示与 $\widehat{gl}(k)$ 的 $r$ 级表示，暗示了 $\widetilde{\mathbb{C}^2/\mathbb{Z}_k}$ 上的 $U(r)$-瞬子与 $\widetilde{\mathbb{C}^2/\mathbb{Z}_r}$ 上的 $U(k)$-瞬子之间的对偶性。