[论文解读] Framed sheaves on root stacks and supersymmetric gauge theories on ALE spaces

Ugo Bruzzo, Mattia Pedrini+2 more|arXiv (Cornell University)|Dec 19, 2013

Black Holes and Theoretical Physics参考文献 62被引用 5

一句话总结

本文提出了一种层论框架，利用根扭积栈上的框架层研究 $A_{k-1}$ ALE 空间上的 ${\mathcal{N}}=2$ 超对称 gauge 理论。通过将最小解析 $X_k$ 构造为 ${\mathbb{Z}}_k$-gerbe 的栈化紧化，作者定义了框架层的光滑模空间，计算其维数与不动点，并利用 тор化爆破公式推导瞬子划分函数。关键结果是通过 Seiberg-Witten 几何与雅可比 theta 函数，以新方式表征划分函数，给出了相关函数的显式表达式及对分数瞬子荷的约束。

ABSTRACT

We develop a new approach to the study of supersymmetric gauge theories on ALE spaces using the theory of framed sheaves on root toric stacks, which illuminates relations with gauge theories on $\mathbb{R}^4$ and with two-dimensional conformal field theory. We construct a stacky compactification of the minimal resolution $X_k$ of the $A_{k-1}$ toric singularity $\mathbb{C}^2/\mathbb{Z}_k$, which is a projective toric orbifold $\mathscr{X}_k$ such that $\mathscr{X}_k\setminus X_k$ is a $\mathbb{Z}_k$-gerbe. We construct moduli spaces of torsion free sheaves on $\mathscr{X}_k$ which are framed along the compactification gerbe. We prove that this moduli space is a smooth quasi-projective variety, compute its dimension, and classify its fixed points under the natural induced toric action. We use this construction to compute the partition functions and correlators of chiral BPS operators for $\mathcal{N}=2$ quiver gauge theories on $X_k$ with nontrivial holonomies at infinity. The partition functions are computed with and without couplings to bifundamental matter hypermultiplets and expressed in terms of toric blowup formulas, which relate them to the corresponding Nekrasov partition functions on the affine toric subsets of $X_k$. We compare our new partition functions with previous computations, explore their connections to the representation theory of affine Lie algebras, and find new constraints on fractional instanton charges in the coupling to fundamental matter. We show that the partition functions in the low energy limit are characterised by the Seiberg-Witten curves, and in some cases also by suitable blowup equations involving Riemann theta-functions on the Seiberg-Witten curve with characteristics related to the nontrivial holonomies.

研究动机与目标

• 开发一种新的几何框架，利用代数栈与层模空间研究 ALE 空间上的超对称 gauge 理论。
• 将 ${\mathbb{C}}^2/{\mathbb{Z}}_k$ 的最小解析 $X_k$ 的栈化紧化构造为在无穷远处具有 ${\mathbb{Z}}_k$-gerbe 的 toric 丛轨道。
• 在该紧化栈上定义并研究无扭框架层的模空间，证明其光滑性，并计算维数与不动点。
• 计算 $X_k$ 上具有非平凡无穷远处 holonomy 的 quiver gauge 理论的瞬子划分函数与 BPS 相关函数。
• 将这些划分函数与 Seiberg-Witten 理论、爆破方程以及仿射李代数的表示理论联系起来。

提出的方法

• 将根扭积栈 $\mathscr{X}_k$ 构造为 ALE 空间 $X_k$ 的栈化紧化，其中 $\mathscr{X}_k \setminus X_k$ 是一个 ${\mathbb{Z}}_k$-gerbe。
• 在 $\mathscr{X}_k$ 上定义沿紧化除子的框架层模空间，证明其为光滑的拟射影簇。
• 利用 $\mathscr{X}_k$ 上的环作用对模空间的不动点进行分类，并通过局部化方法计算欧拉类。
• 通过将划分函数表达为与 $X_k$ 的仿射 toric 子集上的 Nekrasov 划分函数相关的 toric 爆破公式，实现其表达。
• 利用等变积分推导 ${\mathcal{N}}=2$、${\mathcal{N}}=2^*$、${\mathcal{N}}=4$ 理论及含 fundamental matter 的理论的微扰与瞬子划分函数。
• 通过证明低能划分函数由 Seiberg-Witten 曲线表征，并满足包含与无穷远处非平凡 holonomy 相关特征的雅可比 theta 函数的爆破方程，建立与 Seiberg-Witten 理论的联系。

实验结果

研究问题

• RQ1 框架层在根栈上的构造如何为 ALE 空间上的超对称 gauge 理论提供几何实现？
• RQ2 对 $A_{k-1}$ ALE 空间的栈化紧化 $\mathscr{X}_k$ 上的框架层模空间具有何种结构？
• RQ3 在 $X_k$ 上具有非平凡无穷远处 holonomy 的 gauge 理论的划分函数如何与仿射局部上的 Nekrasov 划分函数相关联？
• RQ4 划分函数以何种方式编码了 Seiberg-Witten 几何与仿射李代数表示的信息？
• RQ5 在存在 fundamental matter 的情况下，划分函数对分数瞬子荷施加了何种约束？

主要发现

• 根扭积栈 $\mathscr{X}_k$ 上框架层的模空间是一个维数为 $2k$ 的光滑拟射影簇。
• 在 toric 作用下模空间的不动点已被分类，其对应于特定具有无穷远处单值数据的框架层。
• ${\mathcal{N}}=2$ 与 ${\mathcal{N}}=2^*$ 理论在 $X_k$ 上的划分函数通过 toric 爆破公式计算，并表达为框架层贡献之和，其首项为 $\mathsf{q}^{1/3} + \cdots$。
• 对于 $X_3$ 上的 $U(2)$ gauge 理论，划分函数中 $\mathsf{q}^{2/3}$ 的系数为 $\mathsf{q}^{2/3} \left( -\frac{1}{2a(2a+\varepsilon_1+\varepsilon_2)} - \frac{1}{(2a-3\varepsilon_2)(2a-\varepsilon_1-\varepsilon_2)} - \frac{1}{(2a-\varepsilon_1-\varepsilon_2)(2a+\varepsilon_1+\varepsilon_2)} \right) + \cdots$。
• 低能划分函数由 Seiberg-Witten 曲线表征，并满足包含与无穷远处非平凡 holonomy 相关特征的雅可比 theta 函数的爆破方程。