[论文解读] From homogeneous metric spaces to Lie groups

Michael Cowling, Ville Kivioja+3 more|arXiv (Cornell University)|May 26, 2017

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 63被引用 8

一句话总结

本文证明，每个具有度量膨胀的连通、局部紧致的齐次度量空间，若其允许度量膨胀，则同构于一个具有自同态膨胀的度量自相似李群。利用Gleason–Iwasawa–Montgomery–Yamabe–Zippin结构理论，作者表明此类空间大致同构于可解度量李群，并将自相似李群表征为负曲率空间的切空间与视觉边界。

ABSTRACT

We study homogeneous metric spaces, by which we mean connected, locally compact metric spaces whose isometry group acts transitively. After a review of some classical results, we use the Gleason-Iwasawa-Montgomery-Yamabe-Zippin structure theory to show that for all positive $ε$, each such space is $(1,ε)$-quasi-isometric to a connected metric Lie group. Next, we develop the structure theory of Lie groups to show that every homogeneous metric manifold is homeomorphically roughly isometric to a quotient space of a connected amenable Lie group, and roughly isometric to a simply connected solvable metric Lie group. Third, we investigate solvable metric Lie groups in more detail, and expound on and extend work of Gordon and Wilson and of Jablonski on these, showing, for instance, that connected, simply connected solvable Lie groups may be made isometric if and only if they have the same real-shadow. Finally, we extend a result of Kivioja and Le Donne to show that homogeneous metric spaces that admit a metric dilation are all metric Lie groups with an automorphic dilation.

研究动机与目标

• 表征允许度量膨胀的齐次度量空间，并确定其潜在的几何结构。
• 证明每个此类空间大致同构于一个单连通的可解度量李群。
• 表明齐次度量流形在同胚意义下大致同构于可解李群的商空间。
• 通过其实影和等距类型，扩展对可解度量李群的分类。
• 将自相似李群表征为负曲率对称空间的切空间与视觉边界空间。

提出的方法

• 应用Gleason–Iwasawa–Montgomery–Yamabe–Zippin结构理论，证明每个齐次度量空间是(1,ε)-拟等距同构于一个连通度量李群。
• 利用度量膨胀的存在性，证明等距群的单位连通分支是一个多项式增长的李群。
• 将齐次空间识别为H/K，其中H为李群，K为极大紧致子群。
• 在H中构造一个连通李子群G，使得商映射G → M为同胚，从而将G与M识别。
• 通过同胚定义G上的左不变度量，证明其与原空间等距同构。
• 证明膨胀映射在G上诱导一个李群自同态，从而确立所得李群的自相似性。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种条件下，齐次度量空间同构于度量李群？
• RQ2 可解度量李群的结构如何（按等距关系）？其分类方法为何？
• RQ3 齐次度量空间在何种情况下允许度量膨胀？这对其几何结构有何含义？
• RQ4 自相似李群与负曲率空间的切空间和视觉边界结构有何关联？
• RQ5 实影在确定可解李群的等距类中起何种作用？

主要发现

• 每个允许度量膨胀的齐次度量空间，同构于一个具有自同态膨胀的度量自相似李群。
• 等距群的单位连通分支是一个多项式增长的李群，因此是可解的，且该空间同胚于该群的商空间。
• 每个齐次度量流形在同胚意义下大致同构于一个连通可解李群的商空间。
• 每个齐次度量空间大致同构于一个单连通的可解度量李群。
• 连通可解李群同构当且仅当它们具有相同的实影。
• 自相似李群作为负曲率对称空间的切空间与抛物型视觉边界出现，且Hamenstädt距离在幂零根基上是齐次的。