[論文レビュー] FROM THE SCHRODINGER PROBLEM TO THE MONGE-KANTOROVICH PROBLEM

Christian Léonard|arXiv (Cornell University)|Aug 16, 2016

Geometry and complex manifolds参考文献 29被引用数 207

ひとこと要約

本稿は、確率的ダイナミクスにおけるエントロピー最小化であるシュレーディンガー問題と、古典的マングェ＝カンタロヴィチ最適輸送問題との間の厳密な関係を確立する。フラクチュエーションパラメータがゼロに近づく際、エントロピー最小化解が最適輸送計画に収束することを示し、Γ収束および大偏差原理を用いた関数解析的枠組みにおいて、マングェ＝カンタロヴィチのコストがシュレーディンガーのエントロピー問題の大偏差極限として現れることを証明する。

ABSTRACT

The aim of this article is to show that the Monge-Kantorovich problem is the limit of a sequence of entropy minimization problems when a fluctuation parameter tends down to zero. We prove the convergence of the entropic values to the optimal transport cost as the fluctuations decrease to zero, and we also show that the limit points of the entropic minimizers are optimal transport plans. We investigate the dynamic versions of these problems by considering random paths and describe the connections between the dynamic and static problems. The proofs are essentially based on convex and functional analysis. We also need specific properties of Gamma-convergence which we didn't find in the literature. Hence we prove these Gamma-convergence results which are interesting in their own right.

研究の動機と目的

• . フラクチュエーションパラメータが消える際、エントロピー最小化解が最適輸送計画に収束することを確立すること。
• . 最適輸送コストがエントロピーコストの大偏差極限として現れることを示すこと。
• . 確率的および変分的手法を用いて、動的（経路ベース）および静的（周辺分布）な最適輸送の定式化を統一すること。
• . 弱コンact空間における凸関数および制約付き最小化問題に対する、新規のΓ収束結果の構築と証明すること。
• . ストキャスティック過程や大偏差理論の深い知識を必要としないが、確率的概念を解析学的対象にアクセス可能にする関数解析的枠組みを提供すること。

提案手法

• . フラクチュエーションパラメータ k → ∞ の際、エントロピー最小化問題の極限をΓ収束を用いて分析する。
• . 大偏差原理（LDP）を用いて、分散が減少する確率過程 Rk の漸近的挙動を特徴付ける。
• . LDPのレート関数 C(ω) と輸送コスト c(x,y) = inf{C(ω) : ω0=x, ω1=y} の間の対応関係を確立する。
• . エントロピー問題（2）の最小化解が、極限コスト c に対して弱収束して最適輸送計画に収束することを証明する。
• . コントラクション原理およびラプラース＝ヴァラドハン原理を用いて、初期および最終位置の経験測度のLDPを導出する。
• . 凸解析および関数解析を用いて、汎関数の収束のための等コercivityおよびΓ-liminf/limsup条件を証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 . フラクチュエーションが小さくなる際、シュレーディンガーのエントロピー問題の解がマングェ＝カンタロヴィチ最適輸送問題の解にどのように収束するか。
• RQ2 . ストキャスティック過程のレート関数と、極限における得られる輸送コストとの間の明確な関係は何か。
• RQ3 . ランダムパスを介した動的最適輸送定式化が、大偏差を用いて静的定式化（結合測度を介して）と厳密に結びつけられるか。
• RQ4 . エントロピー最小化解の列が最適輸送計画に収束するための条件は何か。
• RQ5 . これらの変分問題の収束を証明するために必要な関数解析的道具、特にΓ収束とは何か。

主な発見

• . フラクチュエーションパラメータ k → ∞ の際、エントロピーコストの値はマングェ＝カンタロヴィチ最適輸送コストに収束する。
• . エントロピー最小化解の極限点は、極限コスト c(x,y) = inf{C(ω) : ω0=x, ω1=y} に対する最適輸送計画である。
• . 拡散係数が 1/k であるブラウン運動の場合、極限コストは c(x,y) = 1/2|y−x|² であり、最小化解は µ0 と µ1 間の変位補間へ収束する。
• . 2次コスト問題に一意解が存在する場合、エントロピー最小化解の列 Pk は弱収束して、決定的過程 bP = ∫ δσxy bπ(dxdy) に収束する。ここで bπ は最適輸送計画である。
• . 本稿は、等コercivityおよび連続性の仮定の下で、制約付き最小化問題に対する新規のΓ収束結果を証明しており、これは主な収束定理の根幹をなす。
• . コントラクション原理およびラプラース＝ヴァラドハン原理を用いて、初期および最終位置の同時分布のLDPを導出し、輸送コストをレート関数として得た。