[論文レビュー] Benamou-Brenier and duality formulas for the entropic cost on $RCD^*(K,N)$ spaces

Nicola Gigli, Luca Tamanini|arXiv (Cornell University)|May 15, 2018

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 28被引用数 22

ひとこと要約

本稿は、$σ$RCD$^*(K,N)$ 空間におけるエントロピー的コストの3つの同等な変分表現を確立する：動的なアーベル＝ブレニエ型の公式、ハミルトニアン・ジャコビ・ベルマン双対性、およびエントロピー的ホフ＝ラクス半群を用いたカンタロヴィチ型双対性。主な貢献は、非滑らかな距離測度空間におけるシュレーディンガー問題の完全で統一的な双対性枠組みを構築したことである。

ABSTRACT

In this paper we prove that, within the framework of $RCD^*(K,N)$ spaces with $N < \infty$, the entropic cost (i.e. the minimal value of the Schrödinger problem) admits: - a threefold dynamical variational representation, in the spirit of the Benamou-Brenier formula for the Wasserstein distance; - a Hamilton-Jacobi-Bellman dual representation, in line with Bobkov-Gentil-Ledoux and Otto-Villani results on the duality between Hamilton-Jacobi and continuity equation for optimal transport; - a Kantorovich-type duality formula, where the Hopf-Lax semigroup is replaced by a suitable `entropic' counterpart. We thus provide a complete and unifying picture of the equivalent variational representations of the Schrödinger problem (still missing even in the Riemannian setting) as well as a perfect parallelism with the analogous formulas for the Wasserstein distance.

研究の動機と目的

• 古典的な最適輸送の双対性枠組み（元来ウォッサーシュタイン距離のために開発されたもの）を、滑らかでない距離測度空間におけるシュレーディンガー問題へと拡張すること。
• ウォッサーシュタイン距離のアーベル＝ブレニエ公式に類似した、エントロピー的コストの動的変分表現を確立すること。
• ハミルトニアン・ジャコビ・ベルマン双対性を証明し、HJB方程式の部分解が力学的エネルギーに類似した関数の最小化と関連することを示すこと。
• 通常のホフ＝ラクス半群に代わる適切なエントロピー的類似物を用いた、カンタロヴィチ型双対性を導出すること。
• リーマン的設定における既存の双対性結果を、有限な$N$を持つ$σ$RCD$^*(K,N)$ 空間のより広いクラスへと一般化・統合すること。

提案手法

• 時間積分された運動エネルギー関数を最小化する流れが連続性方程式を満たすように、エントロピー的コストに適応したアーベル＝ブレニエの動的定式化を用いる。
• 後向きHJB方程式の部分解を考察し、双対性不等式を介してエントロピー的コストと関連付けることで、ハミルトニアン・ジャコビ・ベルマン双対性を導入する。
• スケーリングされたエントロピー的ホフ＝ラクス半群$Q_1^\varepsilon u := \varepsilon \log(\mathsf{h}_{\varepsilon/2} e^{u/\varepsilon})$を用いて双対的表現を構築し、古典的ホフ＝ラクス公式の代わりに用いる。
• 滑らかでない性質を扱い、$L^2$および$L^\infty$空間での収束を保証するために、熱流$\mathsf{h}_t$と切り捨てパラメータ$\delta, s > 0$を用いた正則化手続きを採用する。
• HJB方程式の部分解$\phi_t$に対して、双対性不等式$\int \phi_1 \, d\mu_1 - \int \phi_0 \, d\mu_0 \leq \varepsilon \mathscr{I}_\varepsilon(\mu_0, \mu_1)$を適用し、最適な場合に等号が成立することを示す。
• シュレーディンガー問題の最小解が、それぞれHJB方程式とフォッカー＝プランク方程式を満たす双対関数$\varphi^\varepsilon, \psi^\varepsilon$のペアに対応することを利用する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 $σ$RCD$^*(K,N)$ 空間におけるエントロピー的コストは、ウォッサーシュタイン距離のアーベル＝ブレニエ公式に類似した動的変分公式として表現可能であろうか？
• RQ2 ハミルトニアン・ジャコビ・ベルマン双対性は、エントロピー的コストに対して存在するか？ すなわち、HJB方程式の部分解がシュレーディンガー問題における最小作用と関連づけられるか？
• RQ3 エントロピー的ホフ＝ラクス半群を古典的ホフ＝ラクス公式の代わりに用いることで、エントロピー的コストに対してカンタロヴィチ型双対性を確立できるか？
• RQ4 古典的な最適輸送の双対性結果は、滑らかでない、あるいはリーマン的でない距離測度空間におけるシュレーディンガー問題へどの程度まで拡張可能であろうか？
• RQ5 エントロピー的輸送の文脈において、連続性方程式とHJB方程式の双対性は、$σ$RCD$^*(K,N)$ 空間でどのように一般化可能であろうか？

主な発見

• エントロピー的コスト$\varepsilon \mathscr{I}_\varepsilon(\mu_0, \mu_1)$は、3通りの変分表現を有する：動的なアーベル＝ブレニエ型公式、ハミルトニアン・ジャコビ・ベルマン双対性、およびカンタロヴィチ型双対性。
• ハミルトニアン・ジャコビ・ベルマン双対性は、後向きHJB方程式の部分解$\phi_t$に対して不等式$\int \phi_1 \, d\mu_1 - \int \phi_0 \, d\mu_0 \leq \varepsilon \mathscr{I}_\varepsilon(\mu_0, \mu_1)$が成り立つことにより確立され、$\phi_t$ が最大部分解である場合に等号が成立する。
• カンタロヴィチ双対性は、$\varepsilon \mathscr{I}_\varepsilon(\mu_0, \mu_1) = \varepsilon H(\mu_1 \mid \mathfrak{m}) + \sup_{u \in \mathbb{V}} \left\{ \int u \, d\mu_0 - \int Q_1^\varepsilon u \, d\mu_1 \right\}$ で与えられ、ここで$Q_1^\varepsilon u = \varepsilon \log(\mathsf{h}_{\varepsilon/2} e^{u/\varepsilon})$ である。
• エントロピー的ホフ＝ラクス半群$Q_1^\varepsilon$は、シュレーディンガー問題の双対性枠組みにおいて、古典的ホフ＝ラクス公式の正しい置き換えであることが示された。
• 正則化を介した双対性結果は安定である：熱流$\mathsf{h}_t$と切り捨てパラメータ$\delta, s > 0$を導入することで、極限に至る過程で最終的な双対性公式が得られる。
• 結果として、滑らかなリーマン構造が存在しない状況においても、古典的な最適輸送の双対性公式がシュレーディンガー問題へ統一的かつ包括的に拡張された。