[论文解读] From weight structures to (orthogonal) $t$-structures and back

Mikhail V. Bondarko|arXiv (Cornell University)|Jul 8, 2019

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 24被引用 8

一句话总结

该论文在满足布朗表示性的 triangulated 范畴上，建立了 smashing weight 结构与 right-adjacent t-structures 之间的 1-1 对应关系，表明 t-structure 的心由 weight 结构心的 product- preserving 范畴构成。该结果通过 virtual t-truncations 推广至正交 t-structures，提供了一种无需假设函子可表示性即可从 weight 结构构造 t-structures 的新方法。

ABSTRACT

A $t$-structure $t=(C_{t\le 0},C_{t\ge 0})$ on a triangulated category $C$ is right adjacent to a weight structure $w=(C_{w\le 0}, C_{w\ge 0})$ if $C_{t\ge 0}=C_{w\ge 0}$; then $t$ can be uniquely recovered from $w$ and vice versa. We prove that if $C$ satisfies the Brown representability property then $t$ that is adjacent to $w$ exists if and only if $w$ is smashing (i.e., coproducts respect weight decompositions); then the heart $Ht$ is the category of those functors $Hw^{op} o Ab$ that respect products. The dual to this statement is related to results of B. Keller and P. Nicolas. We also prove that an adjacent $t$ exists whenever $w$ is a bounded weight structure on a saturated $R$-linear category $C$ (for a noetherian ring $R$); for $C=D^{perf}(X)$, where the scheme $X$ is regular and proper over $R$, this gives 1-to-1 correspondences between bounded weights structures on $C$ and the classes of those bounded $t$-structures on it such that $Ht$ has either enough projectives or injectives. We generalize this existence statement to construct (under certain assumptions) a $t$-structure $t$ on a triangulated category $C'$ such that $C$ and $C'$ are subcategories of a common triangulated category $D$ and $t$ is right orthogonal to $w$. In particular, if $X$ is proper over $R$ but not necessarily regular then one can take $C=D^{perf}(X)$, $C'=D^b_{coh}(X)$ or $C'=D^-_{coh}(X)$, and $D=D_{qc}(X)$. We also study hearts of orthogonal $t$-structures and their restrictions, and prove some statements on "reconstructing" weight structures from orthogonal $t$-structures. The main tool of this paper are virtual $t$-truncations of (cohomological) functors; these are defined in terms of weight structures and "behave as if they come from $t$-truncations" whether $t$ exists or not.

研究动机与目标

• 在满足布朗表示性的 triangulated 范畴上，建立 smashing weight 结构与 right-adjacent t-structures 之间的 1-1 对应关系。
• 通过 virtual t-truncations 推广从 weight 结构构造 t-structures 的方法，尤其适用于 t-structures 事先不存在的情况。
• 在凝聚层与完美复形的导出范畴背景下，研究 weight 结构相关的正交 t-structures。
• 从正交 t-structures 重构 weight 结构，并分析二者心之间的关系。
• 提供在饱和 R-linear 范畴中，有界 t-structures 与有界 weight 结构一一对应的关系条件。

提出的方法

• 引入 cohomological functor 的 virtual t-truncation 概念，完全基于 weight 结构定义，无需 t-structure 的存在性。
• 利用布朗表示性证明：当且仅当 weight 结构是 smashing 时，存在 right-adjacent t-structure。
• 应用 pure functors 与 product-preserving functors 的概念，将 t-structure 的心表征为从 weight 心到阿贝尔范畴的保持乘积的函子。
• 在共同 triangulated 范畴 D 的子范畴上，通过对偶性与 corepresentability 假设，构造正交 t-structures。
• 利用 Karoubi envelope 与 t-structure 心生成子范畴的方法，从 t-structure 构造 weight 结构。
• 利用大 triangulated 范畴 D 内子范畴 C 与 C' 之间的对偶性与正交性条件，定义并分析正交 t-structures。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种条件下，相对于给定 weight 结构，存在 right-adjacent t-structure？
• RQ2 如何在不假设表示对象存在的情况下，从 weight 结构构造 t-structures？
• RQ3 正交 t-structures 的心与 weight 结构之间存在何种关系？
• RQ4 在饱和 R-linear 范畴中，有界 t-structure 何时对应于有界 weight 结构？
• RQ5 能否从正交 t-structures 重构 weight 结构？在何种条件下可能实现？

主要发现

• 若 triangulated 范畴满足布朗表示性，则当且仅当 weight 结构是 smashing 时，存在 right-adjacent t-structure。
• t-structure 的心与从 weight 结构心到阿贝尔范畴的 product-preserving functors 的范畴等价。
• 在具有有界 weight 结构的饱和 R-linear 范畴中，若 t-structure 心具有足够多的投射或内射对象，则存在有界 t-structures 与有界 weight 结构之间的 1-1 对应。
• 当 X 是 Spec R 上的正则且完备概形时，完美复形的导出范畴 D^perf(X) 存在有界 weight 结构与心具有足够多投射或内射对象的 t-structures 之间的 1-1 对应。
• 当 C = D^perf(X) 且 C' = D^b_{coh}(X) 时，若 C 上的 weight 结构是 smashing，则可在 D^b_{coh}(X) 或 D^-_{coh}(X) 上构造正交 t-structures。
• 在 functors 的 corepresentability 与有限型假设下，可构造 ⟨P_t⟩ ⊂ C 上的有界 weight 结构 w''，使得 w'' 严格左正交于 t，且 Hw'' = P_t。