[论文解读] Gauge/Bethe correspondence on $S^1 imes Σ_h$ and index over moduli space

Satoshi Okuda, Yutaka Yoshida|arXiv (Cornell University)|Jan 14, 2015

Black Holes and Theoretical Physics参考文献 11被引用 4

一句话总结

该论文通过证明扭 Chern-Simons-物质理论的划分函数与广义 $G/G$ 规范 WZW-物质模型的划分函数相匹配，建立了在 $S^1 \times \Sigma_h$ 上的规范/Bethe 对应关系，揭示了通过 $q$-费米子跳跃模型的量子可积结构，并将划分函数解释为在平坦 $G$-联络模空间上的几何指标。规范理论中的威尔逊圈相关函数与 WZW-物质模型中 $G$-群元的相关函数精确匹配。

ABSTRACT

We introduce two-types of topologically twisted Chern-Simons-matter theories on the direct product of circle and genus-h Riemann surface (S^1 imes Σ_h). The partition functions of first model agrees with the partition functions of a generalizations of G/G gauged WZW model. We also find that correlation functions of Wilson loops in first type Chern-Simons-matter theory coincide with correlation functions of G elements in the generalization of G/G gauged WZW model. The partition function of this model also has nice interpretations as norms of eigen states of Hamiltonian in the quantum integrable model (q-boson hopping model) and also as a geometric index over a particular moduli space. In the second-type Chern-Simons-matter theory, the partition function is related to integration over moduli space of Hitchin equation on Riemann surface.

研究动机与目标

• 在 $S^1 \times \Sigma_h$ 上建立扭 Chern-Simons-物质理论与 $\Sigma_h$ 上广义 $G/G$ 规范 WZW-物质模型之间的对应关系。
• 证明 Chern-Simons-物质理论的划分函数继承自 $q$-费米子跳跃模型的量子可积结构。
• 将划分函数解释为 $SU(2)$ 情况下平坦 $G$-联络模空间上的几何指标。
• 阐明第二类模型中划分函数的物理与数学意义，其与 Hitchin 模空间相关。
• 将规范/Bethe 对应关系从纯 Chern-Simons 理论扩展至包含物质和广义 WZW 模型的情形。

提出的方法

• 通过在二维理论中对 $S^1$ 上升 A-扭转，构造两类在 $S^1 \times \Sigma_h$ 上的拓扑扭 Chern-Simons-物质理论。
• 通过路径积分局部化方法，计算规范场、鬼场与物质场的函数行列式之比，评估第一类模型的划分函数。
• 利用泊松求和与部分积分，导出对单 holonomy 变量 $\varphi$ 的约束，从而导出超越方程解的求和。
• 通过将划分函数识别为量子可积系统中哈密顿算符本征态的范数，将其与 $q$-费米子模型联系起来。
• 将划分函数表达为一类 Bethe ansatz 型方程的解之和，从而将其与 $q$-费米子模型的谱联系起来。
• 在 $SU(2)$ 情况下，通过显式计算与参数重定义 ($u = e^{2\pi i\varphi}, t = e^{-2\pi m}$)，证明划分函数与平坦 $SU(2)$-联络模空间上的指标相等。

实验结果

研究问题

• RQ1 在 $S^1 \times \Sigma_h$ 上，扭 Chern-Simons-物质理论的划分函数与 $\Sigma_h$ 上广义 $G/G$ 规范 WZW-物质模型的划分函数有何关系？
• RQ2 $q$-费米子跳跃模型在解释 Chern-Simons-物质理论的划分函数与相关函数中起什么作用？
• RQ3 Chern-Simons-物质理论的划分函数能否被解释为平坦 $G$-联络模空间上的几何指标？
• RQ4 规范理论中的威尔逊圈相关函数如何与 WZW-物质模型中 $G$-群元的相关函数对应？
• RQ5 第二类模型的划分函数的物理与数学意义是什么，其与 Hitchin 模空间上的积分相关？

主要发现

• 第一类模型在 $S^1 \times \Sigma_h$ 上的划分函数与 $\Sigma_h$ 上广义 $G/G$ 规范 WZW-物质模型的划分函数完全匹配，表达式为对 $\mu$ 的求和，形式为 $\mathcal{Z}_{\text{GWZWM}}(\Sigma_h) = \sum_{\mu} \frac{1}{S^{2h-2}_{0\mu}(t)}$，其中为单参数变形的模 $S$-矩阵的逆。
• 第一类模型的划分函数被识别为 $q$-费米子跳跃模型中哈密顿算符本征态的范数，从而在规范理论与量子可积性之间建立了直接联系。
• Chern-Simons-物质理论中的威尔逊圈相关函数与广义 $G/G$ WZW-物质模型中 $G$-群元的相关函数精确匹配。
• 在 $SU(2)$ 情况下，划分函数被证明等价于一个 Bethe ansatz 方程的解之和：$u^{2k+4}\left[\frac{1 - t u^{-2}}{1 - t u^{2}}\right]^2 = 1$，划分函数表达为 $\mathcal{Z}^{\text{SU(2)}}_{\text{CSM}}(S^1 \times \Sigma_h) = (1 - e^{-2\pi m})^{h-1} \sum_{x \in \mathcal{B}_1} \left[ \cdots \right]^{h-1}$，从而确认其作为几何指标的解释。
• 第一类模型的划分函数被解释为拓扑量子场理论（TQFT）不变量，同时也是量子可积系统本征值方程解之和。
• 第二类模型的划分函数与 $\Sigma_h$ 上 Hitchin 方程解的模空间上的积分相关，但其对应的量子可积模型尚不明确。