[论文解读] Generalizations of the distributed Deutsch-Jozsa promise problem

Jozef Gruska, Daowen Qiu+1 more|arXiv (Cornell University)|Feb 28, 2014

Quantum Computing Algorithms and Architecture参考文献 43被引用 20

一句话总结

该论文将分布式Deutsch-Jozsa承诺问题推广至情形：各方需判断其字符串的汉明距离是否为0（完全相同）或至少为k（k为任意固定的偶数，且满足n/2 ≤ k < (1−λ)n）。研究证明，精确量子通信复杂度保持为O(log n)，而确定性复杂度为Ω(n)，从而建立了指数级差距。该结果还可推广至分离性问题的承诺版本，同样显示出量子与经典通信复杂度间的指数级差距。

ABSTRACT

In the {\em distributed Deutsch-Jozsa promise problem}, two parties are to determine whether their respective strings $x,y\in\{0,1\}^n$ are at the {\em Hamming distance} $H(x,y)=0$ or $H(x,y)=\frac{n}{2}$. Buhrman et al. (STOC' 98) proved that the exact {\em quantum communication complexity} of this problem is ${\bf O}(\log {n})$ while the {\em deterministic communication complexity} is ${\bf Ω}(n)$. This was the first impressive (exponential) gap between quantum and classical communication complexity. In this paper, we generalize the above distributed Deutsch-Jozsa promise problem to determine, for any fixed $\frac{n}{2}\leq k\leq n$, whether $H(x,y)=0$ or $H(x,y)= k$, and show that an exponential gap between exact quantum and deterministic communication complexity still holds if $k$ is an even such that $\frac{1}{2}n\leq k

研究动机与目标

• 将分布式Deutsch-Jozsa承诺问题推广至汉明距离为0或恰好k（k ≥ n/2）的情形。
• 分析该推广问题的精确量子与确定性通信复杂度。
• 研究当k增大时，量子与经典通信复杂度间的指数级差距是否依然存在。
• 探索分离性问题的承诺版本，并建立类似的指数级差距。
• 将通信复杂度结果应用于推导有限自动机的状态复杂度下界。

提出的方法

• 将原始Deutsch-Jozsa承诺问题推广，以区分汉明距离为0或恰好k的字符串，其中k为固定的偶数且k ≥ n/2。
• 采用基于振幅放大与相位回授的量子协议，实现O(log n)的精确量子通信复杂度。
• 证明当k < (1−λ)n（0 < λ < 1/2）时，确定性通信复杂度仍为Ω(n)。
• 分析一个分离性问题的承诺版本，其中输入要么不相交，要么至少有λn个重叠的1，且λ ≤ 1/4。
• 为承诺分离性问题构造量子与概率通信协议，其通信代价分别为O(log n)与O(log n)。
• 将通信复杂度的下界应用于推导确定性有限自动机（DFA）状态复杂度的指数级下界。

实验结果

研究问题

• RQ1 当汉明距离的承诺从k = n/2推广至k ≥ n/2时，分布式Deutsch-Jozsa问题中的指数级量子优势是否依然成立？
• RQ2 当k为偶数且n/2 ≤ k < (1−λ)n（λ > 0为固定常数）时，推广后的EQ_k问题的精确量子通信复杂度是否仍为O(log n)？
• RQ3 是否存在一个分离性问题的承诺版本，使得其量子通信复杂度远小于确定性通信复杂度？
• RQ4 能否利用通信复杂度的结果推导出有限自动机状态复杂度的紧致下界？
• RQ5 对于汉明权重为0或大于k的承诺问题（k ≥ n/2），其精确量子查询复杂度是多少？

主要发现

• 对于任意固定的偶数k，满足n/2 ≤ k < (1−λ)n（0 < λ < 1/2），EQ_k问题的精确量子通信复杂度为O(log n)。
• EQ_k问题的确定性通信复杂度为Ω(n)，从而在量子与经典通信复杂度之间建立了指数级差距。
• DJ_k问题（区分汉明权重为0与大于k的情况）的精确量子查询复杂度为1，而确定性查询复杂度为n−k+1。
• 对于λ ≤ 1/4的承诺分离性问题DISJ_λ，其量子通信复杂度至多为(log 3)/(3λ) · (3 + 2 log n)，当λ固定时为O(log n)。
• DISJ_λ的概率通信复杂度至多为(log 3)/λ · log n，同样为n的次线性函数。
• 解决承诺问题A_D(n)的确定性有限自动机至少需要2^Ω(n)个状态，该下界由DISJ_1/4的确定性通信复杂度下界推导得出。