[论文解读] Generalized cohomology theories for algebraic stacks

Adeel A. Khan, Charanya Ravi|arXiv (Cornell University)|Jun 28, 2021

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology被引用 4

一句话总结

本文将维多夫斯基的稳定 motivic 同伦类别推广至锯齿状代数堆栈，为如代数 K-理论、motivic 同调与代数 cobordism 等广义上同调理论建立了完整的六 functor 形式体系。证明了这些理论满足同伦不变性、局部化、Mayer–Vietoris 及 torus 作用下的固定点局部化公式等关键性质，同时引入了 lisse-extended 理论，可恢复等变 Chow 群与 Borel-等变 cobordism。

ABSTRACT

We extend the stable motivic homotopy category of Voevodsky to the class of scalloped algebraic stacks, and show that it admits the formalism of Grothendieck's six operations. Objects in this category represent generalized cohomology theories for stacks like algebraic K-theory, as well as new examples like genuine motivic cohomology and algebraic cobordism. These cohomology theories admit Gysin maps and satisfy homotopy invariance, localization, and Mayer-Vietoris. For example, we deduce that homotopy K-theory satisfies cdh descent on scalloped stacks. We also prove a fixed point localization formula for torus actions. Finally, the construction is contrasted with a "lisse-extended" stable motivic homotopy category, defined for arbitrary stacks: we show for example that lisse-extended motivic cohomology of quotient stacks is computed by the equivariant higher Chow groups of Edidin-Graham, and we also get a good new theory of Borel-equivariant algebraic cobordism. Moreover, the lisse-extended motivic homotopy type is shown to recover all previous constructions of motives of stacks.

研究动机与目标

• 将稳定 motivic 同伦类别推广至锯齿状代数堆栈，这一类包括驯服的 Deligne–Mumford 堆栈与商堆栈。
• 在这些堆栈上建立广义上同调理论的完整六 functor 形式体系，确保函子性、基变换与投影公式成立。
• 证明如代数 K-理论、motivic 同调与代数 cobordism 等上同调理论满足同伦不变性、局部化与 Mayer–Vietoris 性质。
• 为任意堆栈开发 lisse-extended motivic 同伦类别，可恢复等变 Chow 群并实现 Borel-等变代数 cobordism。
• 在堆栈的 motivic 同调与广义上同调理论背景下，证明 torus 作用下的固定点局部化公式。

提出的方法

• 通过在映射到堆栈的光滑概形上的不稳定 motivic 同伦类别进行构造，并将其稳定化，以定义锯齿状堆栈的稳定 motivic 同伦类别。
• 通过紧化与 Nisnevich 局部紧化性，定义六种运算——拉回、推出、张量积及其扭曲形式。
• 形式体系依赖于导出范畴的可解性质与紧生成性，以确保函子的伴随性与正合性。
• 对于 lisse-extended 理论，论文采用 lisse-局部紧化可实现的态射，并通过在拟射影光滑覆盖上的 Kan 扩张，将 motivic 系谱扩展。
• 证明该理论可通过 lisse-extended motivic 同伦类型恢复先前的堆栈动机构造，包括 Bittner 及其他人的构造。
• 关键技术工具包括使用向量丛 torsor 实现基变换与投影公式，以及应用 cdh 与 Nisnevich 下降以验证上同调性质。

实验结果

研究问题

• RQ1 稳定 motivic 同伦类别能否被推广至超越概形与代数空间的广义代数堆栈类？
• RQ2 如代数 K-理论与代数 cobordism 等广义上同调理论是否在堆栈上满足同伦不变性与局部化？
• RQ3 在 motivic 设置下，堆栈的 torus 作用是否存在固定点局部化公式？
• RQ4 lisse-extended motivic 同伦理论能否恢复等变 Chow 群与 Borel-等变 cobordism？
• RQ5 六 functor 形式体系在具有非平凡稳定子的堆栈（如商堆栈）上如何表现？

主要发现

• 稳定 motivic 同伦类别被推广至锯齿状代数堆栈，支持包含基变换与投影公式的完整六 functor 形式体系。
• 如代数 K-理论、motivic 同调与代数 cobordism 等广义上同调理论在锯齿状堆栈上满足同伦不变性、局部化与 Mayer–Vietoris 性质。
• 建立了 torus 作用下的固定点局部化公式，将经典结果推广至 motivic 设置。
• lisse-extended motivic 同伦类别通过 Edidin–Graham 的等变高阶 Chow 群计算商堆栈的 lisse-extended motivic 同调。
• lisse-extended motivic 同伦类型通过自然比较同构恢复了所有先前的堆栈动机构造，包括 Bittner 及其他人的构造。
• 通过 lisse-extended 形式体系构造了 Borel-等变代数 cobordism，作为一新的、行为良好的理论。