[论文解读] Generalized homology and Atiyah-Hirzebruch spectral sequence in crystalline symmetry protected topological phenomena

Ken Shiozaki, Charles Zhaoxi Xiong+1 more|arXiv (Cornell University)|Oct 1, 2018

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 100被引用 21

一句话总结

该论文提出了一种等变广义同调理论 $ h^{G}_{n}(X) $，用于分类具有晶格对称性的对称保护拓扑（SPT）相，通过Atiyah-Hirzebruch谱序列统一了层构造、高阶SPT相和Lieb-Schultz-Mattis定理等概念。该框架适用于自由与相互作用系统，并通过谱序列计算捕捉异常和边缘态，得出 $ H^5(K(\bbZ_N,2);\bbZ) \cong \bbZ_N $（当 $ N $ 为奇数时），以及 $ \bbZ_{2N} $（当 $ N $ 为偶数时）。

ABSTRACT

We propose that symmetry protected topological (SPT) phases with crystalline symmetry are formulated by equivariant generalized homologies $h^G_n(X)$ over a real space manifold $X$ with $G$ a crystalline symmetry group. The Atiyah-Hirzebruch spectral sequence unifies various notions in crystalline SPT phases such as the layer construction, higher-order SPT phases and Lieb-Schultz-Mattis type theorems. Our formulation is applicable to interacting systems with onsite and crystalline symmetries as well as free fermions.

研究动机与目标

• 开发一种统一的拓扑框架，利用等变广义同调理论对具有晶格对称性的拓扑（SPT）相进行分类。
• 将晶格SPT中的不同概念——如层构造、高阶SPT相和Lieb-Schultz-Mattis定理——统一于单一数学结构之下。
• 将分类方法从自由费米子扩展至包含任意局部对称与晶格对称的相互作用系统。
• 证明Atiyah-Hirzebruch谱序列能够基于空间维度与边缘局域化特性，捕捉SPT相的过滤结构。
• 系统计算如 $ H^5(K(\bbZ_N,2);\bbZ) $ 等上同调群，揭示其对 $ N $ 奇偶性的依赖关系。

提出的方法

• 将晶格SPT相的分类表述为等变广义同调理论 $ h^{G}_{n}(X) $，其中 $ G $ 为晶格对称群，$ X $ 为实空间流形。
• 应用Atiyah-Hirzebruch谱序列（AHSS）计算广义上同调群，利用涉及Eilenberg-MacLane空间 $ K(\bbZ_N,2) $ 的纤维丛的Leray-Serre谱序列。
• 使用谱序列 $ E_2^{p,q} = H^p(BG; h^q(\text{pt})) \Rightarrow h^{p+q}(BG) $ 计算 $ H^n(K(\bbZ_N,2);\bbZ) $，追踪如 $ d_3 $ 和 $ d_5 $ 的微分。
• 利用普遍系数定理与Künneth公式，将 $ \bbZ $-系数上同调与 $ \bbZ_2 $-上同调关联，尤其针对偶数 $ N $ 的情形。
• 利用 $ H^*(K(\bbZ_{2^f},2);\bbZ_2) \cong \bbZ_2[w_2,w_3,w_5,w_9,\dots] $ 的结构，计算上同调群中的挠子群。
• 通过 $ \mathrm{Ext}(\bbZ_2,\bbZ_N) \cong \bbZ_2 $ 推导扩展分类，确定 $ H^5(K(\bbZ_N,2);\bbZ) $ 在 $ N $ 为偶数时的结构。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何利用广义同调理论系统地分类晶格SPT相？
• RQ2 Atiyah-Hirzebruch谱序列在何种方式下统一了层构造、高阶SPT相与Lieb-Schultz-Mattis定理？
• RQ3 等变广义同调 $ h^{G}_{n}(X) $ 在捕捉具有晶格对称性的相互作用SPT相的拓扑不变量中起什么作用？
• RQ4 AHSS中的微分（如 $ d_3 $ 和 $ d_5 $）如何决定 $ H^5(K(\bbZ_N,2);\bbZ) $ 等上同调群的结构？
• RQ5 对 $ H^5(K(\bbZ_N,2);\bbZ) $ 的精确分类是什么？其如何依赖于 $ N $ 的奇偶性？

主要发现

• 晶格SPT相的分类由等变广义同调 $ h^{G}_{n}(X) $ 给出，该理论在单一框架下统一了多种拓扑现象。
• Atiyah-Hirzebruch谱序列提供了过滤结构 $ 0 \subset F_0 h_n^G \subset \cdots \subset F_d h_n^G = h_n^G(X) $，其中商群 $ F_p h_n^G / F_{p-1} h_n^G $ 对应于 $ (d-p+1) $ 维的高阶SPT相。
• 当 $ N $ 为奇数时，$ H^5(K(\bbZ_N,2);\bbZ) \cong \bbZ_N $；当 $ N $ 为偶数时，$ H^5(K(\bbZ_N,2);\bbZ) \cong \bbZ_{2N} $，后者源于由 $ \mathrm{Ext}(\bbZ_2,\bbZ_N) \cong \bbZ_2 $ 分类的非平凡扩展。
• 谱序列计算表明，当 $ N $ 为奇数时，$ d_3: E_3^{0,4} \to E_3^{3,2} $ 是同构，导致 $ E_\infty^{5,0} = 0 $；而当 $ N $ 为偶数时，$ d_5 $ 必须是双射以消除 $ E_5^{0,4} \cong \bbZ_2 $。
• 当 $ N $ 为奇数时，$ H^6(K(\bbZ_N,2);\bbZ) $ 为零，而当 $ N $ 为偶数时，其同构于 $ \bbZ_2 $，反映了谱序列中的挠结构。
• 当 $ N $ 为偶数时，$ H^5(K(\bbZ_N,2);\bbZ) \cong \bbZ_{2N} $ 的结果源于Künneth公式与 $ K(\bbZ_{2^f},2) $ 的 $ \bbZ_2 $-上同调，确认了谱序列中 $ w_d $ 生成元的作用。