[论文解读] Generalized Lagrange Transforms: Finsler Geometry Methods and Deformation Quantization of Gravity

Sergiu I. Vacaru|ArXiv.org|Jul 11, 2007

Advanced Differential Geometry Research参考文献 17被引用 14

一句话总结

本文提出了一种广义拉格朗日模型与引力理论的德沃索夫型形变量子化框架，适用于度量被提升至切从丛或更高维空间的情形，利用芬斯勒几何与非完整联络结构构建具有典型辛形式与仿射联络的近凯勒几何。关键贡献在于一种系统化的量子化程序，可在非完整与共形形变下保持几何一致性，显式计算出特征类 $ c_0(\ast) = -(1/2i)\ ^{\mathcal{L}}\varepsilon $，将量子星积与诱导典型联络的曲率联系起来。

ABSTRACT

We propose a natural Fedosov type quantization of generalized Lagrange models and gravity theories with metrics lifted on tangent bundle, or extended to higher dimension, following some stated geometric/ physical conditions (for instance, nonholonomic and/or conformal transforms to some physically important metrics or mapping into a gauge model). Such generalized Lagrange transforms define canonical nonlinear connection, metric and linear connection structures and model almost Kahler geometries with induced canonical symplectic structure and compatible affine connection. The constructions are possible due to a synthesis of the nonlinear connection formalism developed in Finsler and Lagrange geometries and deformation quantization methods.

研究动机与目标

• 为在切从丛或更高维空间上定义的广义拉格朗日与芬斯勒引力模型发展一种形变量子化形式化方法。
• 将德沃索夫量子化推广至由半黎曼、爱因斯坦或芬斯勒度量的非完整或共形形变所诱导的有效拉格朗日空间。
• 在近凯勒模型中建立量子星积与几何不变量（如曲率与陈类）之间的典型联系。
• 通过非完整联络形式化构造典型辛与仿射结构，以在量子效应与额外维效应下保持几何一致性。

提出的方法

• 利用芬斯勒与拉格朗日几何中的非完整联络形式化，在切从丛 $ TM $ 或更高维流形 $ \mathbf{V}^{n+m} $ 上定义典型结构。
• 基于正则有效拉格朗日 $ \mathcal{L} $，构造具有诱导辛形式 $ \ ^{\mathcal{L}}\theta $ 与相容仿射联络的近凯勒几何。
• 通过定义有效德沃索夫算子与 $ \mathbf{V}^{2n} $ 上光滑函数代数上的星积 $ \ast $，应用德沃索夫方法，并通过泊松括号进行归一化。
• 将特征类 $ c_0(\ast) $ 表示为闭2-形式 $ \ ^{\mathcal{L}}\varkappa $ 的上同调类，该形式显式由典型 d-联络 $ \ ^{\mathcal{L}}\widehat{\mathbf{D}} $ 的曲率与挠率分量计算得出。
• 通过 N-适应复化切从丛的陈-外尔形式计算典型陈类 $ \ ^{\mathcal{L}}\varepsilon $，并将其与量子特征类关联。
• 建立关系式 $ c_0(\ast) = -(1/2i)\ ^{\mathcal{L}}\varepsilon $，表明量子形变类完全由有效拉格朗日空间的几何曲率决定。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何将德沃索夫形变量子化推广至在切从丛或更高维空间上定义的度量的拉格朗日与芬斯勒引力模型？
• RQ2 由广义拉格朗日度量诱导的近凯勒模型的几何结构是什么？其辛形式与仿射联络如何被典型地定义？
• RQ3 量子星积的特征类 $ c_0(\ast) $ 如何与有效拉格朗日空间中典型 d-联络的曲率与挠率相关联？
• RQ4 该量子化程序能否在爱因斯坦引力解被提升至切从丛时仍保持几何与量子一致性地应用？
• RQ5 非完整联络与 N-适应几何在非完整与高维模型中定义量子形变类时的确切作用是什么？

主要发现

• 本文通过在切从丛或更高维流形上构造典型辛结构与相容仿射联络，建立了广义拉格朗日模型的德沃索夫型形变量子化。
• 归一化星积的特征类 $ c_0(\ast) $ 被推导为 $ c_0(\ast) = -(1/2i)\ ^{\mathcal{L}}\varepsilon $，将量子形变与典型 d-联络的曲率联系起来。
• 定义 $ c_0(\ast) $ 的闭2-形式 $ \ ^{\mathcal{L}}\varkappa $ 显式计算为 $ -\frac{i}{8}\mathbf{J}_{\tau}^{\ \alpha'}\ ^{\mathcal{L}}\widehat{\mathbf{R}}_{\ \alpha'\alpha\beta}^{\tau}\ ^{\mathcal{L}}\mathbf{e}^{\alpha} \wedge \ ^{\mathcal{L}}\mathbf{e}^{\beta} - i\ ^{\mathcal{L}}\lambda $，其中 $ \ ^{\mathcal{L}}\lambda = d\ ^{\mathcal{L}}\mu $。
• 通过陈-外尔形式 $ \ ^{\mathcal{L}}\gamma = -\frac{1}{4}\mathbf{J}_{\tau}^{\ \alpha'}\ ^{\mathcal{L}}\widehat{\mathbf{R}}_{\ \alpha'\alpha\beta}^{\tau}\ ^{\mathcal{L}}\mathbf{e}^{\alpha} \wedge \ ^{\mathcal{L}}\mathbf{e}^{\beta} $ 计算典型陈类 $ \ ^{\mathcal{L}}\varepsilon $，表明其依赖于 N-适应联络的曲率。
• 该方法一致地处理了爱因斯坦、拉格朗日或芬斯勒度量的非完整与共形形变，保持了量子化所必需的几何结构。
• 该框架允许对因量子效应或额外维效应而可能破坏局部洛伦兹对称性的引力模型进行几何量子化，同时通过典型几何提升保持一致性。