[论文解读] Finsler-Lagrange Geometries and Standard Theories in Physics: New Methods in Einstein and String Gravity

Sergiu I. Vacaru|ArXiv.org|Jul 11, 2007

Advanced Differential Geometry Research参考文献 129被引用 20

一句话总结

本文提出了一种新颖的几何框架，通过在黎曼–嘉当流形上的非完整分布和适配标架，将芬斯勒–拉格朗日结构建模于标准爱因斯坦引力与弦理论中，实现了无需切丛形式化的局部各向异性精确解。关键贡献是通过非线性联络将度量兼容连接变形为广义拉格朗日或芬斯勒配置的规范方法，且在特定条件下与列维-奇维塔联络等价。

ABSTRACT

In this article, we review the current status of Finsler-Lagrange geometry and generalizations. The goal is to aid non-experts on Finsler spaces, but physicists and geometers skilled in general relativity and particle theories, to understand the crucial importance of such geometric methods for applications in modern physics. We also would like to orient mathematicians working in generalized Finsler and Kahler geometry and geometric mechanics how they could perform their results in order to be accepted by the community ''orthodox'' physicists. Although the bulk of former models of Finsler-Lagrange spaces where elaborated on tangent bundles, the surprising result advocated in our works is that such locally anisotropic structures can be modelled equivalently on Riemann-Cartan spaces, even as exact solutions in Einstein and/or string gravity, if nonholonomic distributions and moving frames of references are introduced into consideration. We also propose a canonical scheme when geometrical objects on a (pseudo) Riemannian space are nonholonomically deformed into generalized Lagrange, or Finsler, configurations on the same manifold or on a corresponding tangent bundle. Such canonical transforms are defined by the coefficients of a prime metric (it can be a solution of the Einstein equations) and generate target spaces as generalized Lagrange structures, their models of almost Hermitian/ Kahler, or nonholonomic Riemann spaces with constant curvature, for some Finsler like connections. There are formulated the criteria when such constructions can be redefined equivalently in terms of the Levi Civita connection.

研究动机与目标

• 通过展示局部各向异性结构可利用非完整分布在黎曼–嘉当空间中建模，弥合芬斯勒–拉格朗日几何与标准广义相对论及弦理论之间的鸿沟。
• 在不依赖切丛的前提下，为将度量相容连接变形为同一流形上的广义拉格朗日或芬斯勒结构，提供一种规范方案。
• 阐明此类芬斯勒型几何可等价地用列维-奇维塔联络重表述的条件，确保与正统物理的兼容性。
• 通过构建精确解（包括孤立子型 pp-波）来展示物理相关性，这些解在爱因斯坦与弦理论引力中实现了有效拉格朗日–芬斯勒结构。
• 通过将几何构造与标准物理框架及术语对齐，为数学家与物理学家采用芬斯勒方法提供建议。

提出的方法

• 利用带有非线性（N-）联络和适配 d-度量的非完整流形，将芬斯勒型结构建模于基流形上，而非切丛上。
• 应用非完整标架法定义 d-联络（d-挠率、d-曲率），并从原始黎曼度量构造广义拉格朗日–芬斯勒几何。
• 引入一种规范变形方案，通过 N-联络与 d-联络结构，将给定的爱因斯坦度量非完整地变形为芬斯勒–拉格朗日配置。
• 使用共形提升将基流形上的爱因斯坦结构映射到切丛上的几乎殆复或凯勒结构，保持几何相容性。
• 使用如嘉当或陈联络等特殊（d-）联络，在非完整结构上定义度量相容的仿射联络，使在特定曲率与挠率条件下可与列维-奇维塔联络等价。
• 将形式化应用于构建爱因斯坦与弦理论引力中的精确解，包括孤立子型 pp-波，并将其建模为具有非平凡各向异性的有效拉格朗日–芬斯勒空间。

实验结果

研究问题

• RQ1 是否可以在不依赖切丛形式化的情况下，将芬斯勒–拉格朗日几何一致地建模于标准爱因斯坦引力中？
• RQ2 在何种条件下，非完整流形上的芬斯勒型结构可与黎曼空间上的列维-奇维塔联络等价？
• RQ3 如何通过非完整变形将爱因斯坦与弦理论引力中的精确解重新解释为广义拉格朗日–芬斯勒结构？
• RQ4 非线性联络与适配标架在引力理论中实现局部各向异性方面起何种作用？
• RQ5 是否可使用度量相容的芬斯勒联络（避免非度量性与非完整约束）在普朗克尺度构建确定性量子模型？

主要发现

• 可通过非完整分布与适配标架在黎曼–嘉当空间中等价地建模芬斯勒–拉格朗日结构，无需依赖切丛构造。
• 存在一种规范变形方案，可通过 N-联络与 d-联络将给定爱因斯坦度量变形为广义拉格朗日或芬斯勒结构，同时保持度量相容性。
• 若变形张量消失或满足特定曲率与挠率约束，所得芬斯勒型几何与列维-奇维塔联络等价。
• 如施瓦茨希尔德时空中的孤立子型 pp-波等精确解可被重新解释为有效拉格朗日–芬斯勒结构，暗示其在引力波与量子引力背景中的物理相关性。
• 可在普朗克尺度构建确定性量子模型，使用度量相容的芬斯勒联络（如嘉当联络），避免非度量性，并支持标准量子化程序。
• 该形式化允许将爱因斯坦结构共形提升至切丛，生成支持广义芬斯勒–拉格朗日动力学的几乎殆复或凯勒结构。