[论文解读] Generalized stretch lines for surfaces with boundary

Daniele Alessandrini, Valentina Disarlo|arXiv (Cornell University)|Nov 23, 2019

Geometric and Algebraic Topology参考文献 22被引用 8

一句话总结

本文通过引入弧距离和广义拉伸线，将Thurston的拉伸线与Lipschitz距离理论推广至具有边界的曲面的Teichmüller空间。作者证明了配备弧距离的Teichmüller空间是一个测地Finsler度量空间，并构造了实现最优Lipschitz常数的广义拉伸映射，从而得到经典Thurston理论未涵盖的新测地线。

ABSTRACT

In 1986 William P. Thurston introduced the celebrated (asymmetric) Lipschitz distance on the Teichmueller space of a (closed or punctured) surface. In this paper we extend his work to the Teichmueller space of a surface with boundary endowed the arc distance. In this new setting we construct a large family of geodesics, which generalize Thurston's stretch lines. We prove that the Teichmueller space of a surface with boundary, endowed with the arc distance, is a geodesic metric space. Furthermore, the arc distance is induced by a Finsler metric. As a corollary, we describe a new class of geodesics in the Teichmueller space of a closed/punctured surface that are not stretch lines in the sense of Thurston.

研究动机与目标

• 将Thurston的非对称Lipschitz距离与拉伸线理论推广至具有非空边界的曲面。
• 定义并研究弧距离 $d_A$，作为具有边界的曲面下Thurston距离的自然推广。
• 构造广义拉伸线与映射，使其成为 $d_A$ 与 $d_{L\bar}$（保持边界不变的Lipschitz距离）的测地线。
• 证明配备弧距离的具有边界的曲面的Teichmüller空间是一个测地Finsler度量空间。
• 在闭曲面的Teichmüller空间中识别出经典意义下非拉伸线的新类测地线。

提出的方法

• 引入一个新的非对称距离 $d_{L\bar}$，用于度量保持边界且同伦于恒等映射的映射的最优Lipschitz常数。
• 将广义拉伸线定义为由曲面 $X$ 上的最大测地线层 $\lambda$ 生成的连续路径 $t \to X_\tau^t$，其拉伸因子为 $e^t$。
• 构造广义拉伸映射 $\Phi^t: X \to X_\lambda^t$，其将叶长度拉伸 $e^t$ 倍，保持边界不变，并在几何分块上限制为广义拉伸映射。
• 证明映射 $\Phi^t$ 的Lipschitz常数等于 $e^t$，且当 $\lambda$ 包含非空可测子层时，该值是在所有同伦于恒等映射且保持边界的映射中最小的。
• 利用双曲构造 $S^d$ 将 $\mathrm{Teich}(S)$ 与闭曲面的经典Teichmüller空间联系起来，借助 $\mathrm{Teich}(S^d)$ 上已知的Finsler结构。
• 证明弧距离 $d_A$ 与经典Finsler范数在 $\mathrm{Teich}(S^d)$ 上的限制所诱导的Finsler距离一致。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否通过合适的距离函数将Thurston的拉伸线构造推广至具有边界的曲面？
• RQ2 配备弧距离的具有边界的曲面的Teichmüller空间是否为测地Finsler度量空间？
• RQ3 通过最大层构造的广义拉伸线是否为弧距离与Lipschitz距离的测地线？
• RQ4 能否在闭曲面的Teichmüller空间中找到经典意义下非拉伸线的新测地线？
• RQ5 弧距离 $d_A$、保持边界的Lipschitz距离 $d_{L\bar}$ 与经典Thurston距离 $d_{Th}$ 之间有何关系？

主要发现

• 配备弧距离 $d_A$ 的具有非空边界的曲面的Teichmüller空间是一个测地Finsler度量空间。
• 广义拉伸线 $s_{X,\lambda}: \mathbb{R}_{\geq 0} \to \mathrm{Teich}(S)$ 是 $d_A$ 与 $d_{L\bar}$ 的测地线，其通过最大层与拉伸映射构造而成。
• 对于任意 $X \in \mathrm{Teich}(S)$ 及包含非空可测子层的极大层 $\lambda$，广义拉伸映射 $\Phi^t$ 在所有保持边界且同伦于恒等映射的映射中实现了最小Lipschitz常数。
• 弧距离 $d_A$ 与保持边界的Lipschitz距离 $d_{L\bar}$ 一致，即对所有 $X,Y \in \mathrm{Teich}(S)$ 有 $d_A(X,Y) = d_{L\bar}(X,Y)$。
• 该构造在闭曲面的Teichmüller空间中产生了无穷多条经典意义下非拉伸线的新测地线。
• 由双曲构造 $S^d$ 诱导的 $\mathrm{Teich}(S)$ 上的Finsler结构与弧距离 $d_A$ 一致，证实 $d_A$ 由Finsler范数诱导。