[论文解读] Minimal stretch maps between hyperbolic surfaces

William P. Thurston|ArXiv.org|Jan 9, 1998

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 6被引用 224

一句话总结

本文证明了两个双曲曲面之间的最小利普希茨常数等于其简单闭测地线长度之比的上确界，从而对最小拉伸映射给出了几何刻画。论文在汤川空间上引入了一种非对称芬斯勒度量，通过灾变坐标构造极值映射，并证明最大拉伸叶状结构几乎总是简单闭曲线。

ABSTRACT

This paper develops a theory of Lipschitz comparisons of hyperbolic surfaces analogous to the theory of quasi-conformal comparisons. Extremal Lipschitz maps (minimal stretch maps) and geodesics for the `Lipschitz metric' are constructed. The extremal Lipschitz constant equals the maximum ratio of lengths of measured laminations, which is attained with probability one on a simple closed curve. Cataclysms are introduced, generalizing earthquakes by permitting more violent shearing in both directions along a fault. Cataclysms provide useful coordinates for Teichmuller space that are convenient for computing derivatives of geometric function in Teichmuller space and measured lamination space.

研究动机与目标

• 发展一种类似于汤川理论的双曲曲面之间最小拉伸映射的几何理论。
• 刻画有限面积曲面上两个双曲结构之间的最小利普希茨常数。
• 利用极值利普希茨映射在汤川空间上构造一种非对称芬斯勒度量。
• 引入汤川空间和实测叶状空间的灾变坐标系，赋予其可微结构。
• 证明最大拉伸叶状结构几乎总是简单闭测地线，从而为潜在的计算应用提供可能。

提出的方法

• 将双曲曲面之间映射的利普希茨常数定义为点态拉伸因子的essential上确界。
• 证明最小利普希茨常数等于所有简单闭测地线在源曲面与目标曲面中长度之比的上确界。
• 通过一种称为灾变的几何形变过程构造极值拉伸映射，其参数为实测叶状结构。
• 通过从双曲结构反向参数化实测叶状图，引入汤川空间上的灾变坐标。
• 利用灾变映射的可微性及导数的统一有界性，建立长度函数的连续性与正则性。
• 分析切空间与余切空间中单位球的对偶几何，表明对偶单位球几乎不具有平坦面，提示其具有锥形结构。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于具有固定拓扑类型的两个双曲曲面，其映射的最小利普希茨常数是什么？
• RQ2 极值利普希茨映射如何几何构造？其与非对称芬斯勒度量中测地线的关系为何？
• RQ3 实现最大拉伸比的叶状结构集合具有何种结构？
• RQ4 在利普希茨范数下，汤川空间的切空间与余切空间的行为如何，特别是单位球中的平坦面特征为何？
• RQ5 该理论能否推广至 $L^p$ 范数或三维双曲流形，特别是在拟弗uchs群的背景下？

主要发现

• 两个双曲曲面之间的最小利普希茨常数等于两曲面中所有简单闭测地线长度之比的上确界。
• 极值利普希茨映射可表示为灾变形变的复合，其最大拉伸叶状结构几乎总是简单闭测地线。
• 汤川空间上的非对称芬斯勒度量由拉伸因子的对数定义，其测地线对应于极值映射的一族单参数变形。
• 实测叶状结构空间的切空间自然同胚于实测叶状图的空间，且长度函数可微，其导数一致有界。
• 切空间中单位球几乎不具有平坦面，表明在分段线性度量下，具有非平凡平坦性的方向集合测度为零。
• 余切空间中单位球的对偶几乎完全是锥形的，意味着随机方向几乎必然位于具有非光滑边界奇异点的位置。