[论文解读] Genericity of contracting elements in groups

Wenyuan Yang|arXiv (Cornell University)|Jul 19, 2017

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 30被引用 4

一句话总结

本文证明了在统计凸共形紧（SCC）群作用于完备测地度量空间时，收缩元素在计数测度下呈指数通用性。在纯指数增长条件下，非收缩元素的集合为增长可忽略集，意味着收缩元素在渐近意义上占主导地位。关键结果包括在相对双曲群、具有秩-1元素的CAT(0)群以及具有纯指数子群的映射类群中的指数通用性。

ABSTRACT

In this paper, we establish that, for statistically convex-cocompact actions, contracting elements are exponentially generic in counting measure. Among others, the following exponential genericity results are obtained as corollaries for the set of hyperbolic elements in relatively hyperbolic groups, the set of rank-1 elements in CAT(0) groups, and the set of pseudo-Anosov elements in mapping class groups. Regarding a proper action, the set of non-contracting elements is proven to be growth-negligible. In particular, for mapping class groups, the set of pseudo-Anosov elements is generic in a sufficiently large subgroup, provided that the subgroup has purely exponential growth. By Roblin's work, we obtain that the set of hyperbolic elements is generic in any discrete group action on CAT(-1) space with finite BMS measure. Applications to the number of conjugacy classes of non-contracting elements are given for non-rank-1 geodesics in CAT(0) groups with rank-1 elements.

研究动机与目标

• 确定在具有收缩元素的群作用中，收缩元素在计数测度下是否具有通用性。
• 在统计凸共形紧（SCC）作用下，建立收缩元素的指数通用性。
• 证明在适当或SCC作用下，非收缩元素集合为增长可忽略集或增长紧致集。
• 将通用性结果扩展至特定类别：相对双曲群、具有秩-1元素的CAT(0)群以及映射类群。
• 将结果应用于CAT(0)群中非收缩元素的共轭类。

提出的方法

• 将临界指数 ω(Γ) 定义为 limsup (log |N(o,n) ∩ Γ|)/n，用于度量增长速率。
• 使用增长可忽略集（o(exp(ω(G)n))）和增长紧致集（ω(X) < ω(G)）的概念来量化通用性。
• 利用先前关于SCC作用具有纯指数增长，且无屏障集为增长紧致集的研究结果。
• 在空间的拟树中应用投影技术，并利用收缩性质来控制投影并有界度量球与集合交集的直径。
• 通过矛盾论证，结合 N_C(X) ∩ γ 上的直径有界性，排除屏障的存在或长投影的可能性。
• 通过控制投影距离并利用群在轴上的作用，建立 (ε, Δ, f)-无屏障元素。

实验结果

研究问题

• RQ1 在SCC群作用下，收缩元素在计数测度下是否呈指数通用性？
• RQ2 在具有纯指数增长的适当作用下，非收缩元素集合是否为增长可忽略集？
• RQ3 在具有纯指数子群的映射类群中，收缩元素的指数通用性是否成立？
• RQ4 能否将映射类群中足够大子群内伪阿诺索夫元素的通用性简化为增长条件？
• RQ5 在具有秩-1元素的CAT(0)群中，非收缩元素的共轭类的渐近行为如何？

主要发现

• 在SCC作用下，收缩元素呈指数通用性，因为非收缩元素集合为增长可忽略集。
• 在相对双曲群中，双曲元素集合在计数测度下呈指数通用性。
• 在具有秩-1元素的CAT(0)群中，非收缩元素集合为增长可忽略集，且非收缩元素的共轭类数量有限。
• 在映射类群中，若一个足够大的子群 Γ 具有纯指数增长，则 Γ 中伪阿诺索夫元素集合在 Γ 中具有通用性。
• 对于在CAT(-1)空间上作用的离散群，若其BMS测度有限，则根据Roblin的结果，双曲元素集合为通用集。
• 证明表明，通过控制与收缩集的度量邻域交集的直径，某些测地线段为 (ε, Δ, f)-无屏障集。