[论文解读] Patterson-Sullivan measures and growth of relatively hyperbolic groups

Wenyuan Yang|arXiv (Cornell University)|Aug 28, 2013

Geometric and Algebraic Topology参考文献 53被引用 18

一句话总结

本文证明，非初等的相对双曲群的增长率可被其真相对双曲商群的增长率任意逼近。通过在Bowditch边界上使用Patterson-Sullivan测度以及引入一种新颖的偏阴影引理（Partial Shadow Lemma），作者构造了增长率趋近于群本身增长率的测地根树，并将其嵌入小消去商群中，从而证明了增长率的收敛性，解决了关于克菜尼安群临界指数的一个问题。

ABSTRACT

We prove that for a relatively hyperbolic group G there is a sequence of relatively hyperbolic proper quotients such that their growth rates converge to the growth rate of G. Under natural assumptions, the same conclusion holds for the critical exponent of a cusp-uniform action of G on a hyperbolic metric space. As a corollary, we obtain that the critical exponent of a torsion-free geometrically finite Kleinian group can be arbitrarily approximated by those of quotient groups. This resolves a question of Dal'bo-Peigné-Picaud-Sambusetti. Our approach is based on the study of Patterson-Sullivan measures on Bowditch boundary of a relatively hyperbolic group. The uniqueness and ergodicity of Patterson-Sullivan measures are proved when the group is divergent. We prove a variant of the Sullivan Shadow Lemma, called Partial Shadow Lemma. This tool allows us to prove several results on growth functions of balls and cones. One central result is the existence of a sequence of geodesic trees with growth rates sufficiently close to the growth rate of G, and transition points uniformly spaced in trees. By taking small cancellation over hyperbolic elements of high powers, we can embed these trees into properly constructed quotients of G. This proves the results in the previous paragraph.

研究动机与目标

• 解决Dal’bo-Peigné-Picaud-Sambusetti提出的问题：自由挠几何有限克菜尼安群的临界指数是否可被其真商群的临界指数任意逼近。
• 建立相对双曲群的增长率是其真相对双曲商群增长率的极限。
• 开发一种新工具——偏阴影引理（Partial Shadow Lemma），用于分析相对双曲设定下的锥与球的增长。
• 证明发散型相对双曲群在Bowditch边界上的Patterson-Sullivan测度的唯一性与遍历性。
• 构造增长率可任意接近群本身增长率、且过渡点均匀分布的测地根树，从而实现其在小消去商群中的嵌入。

提出的方法

• 作者分析相对双曲群Bowditch边界上的Patterson-Sullivan测度，在发散型假设下证明其唯一性与遍历性。
• 他们引入偏阴影引理（Partial Shadow Lemma），作为经典Sullivan阴影引理的变体，以控制群中锥与部分锥的增长。
• 利用偏阴影引理，构造了增长率收敛于群本身增长率的测地根树，且其过渡点均匀分布。
• 这些树被嵌入小消去商群 $ G / \big\rrangle h^n \big\rrangle $ 中，其中 $ h $ 为双曲元素，且 $ n $ 足够大。
• 该构造依赖于部分锥类型的有限性，该有限性通过过渡点的几何控制与群内拟测地线追踪得以建立。
• 该方法利用拟共形密度与边界上的视觉度量，将测度论性质与增长函数联系起来。

实验结果

研究问题

• RQ1 相对双曲群的增长率能否被其真商群的增长率任意逼近？
• RQ2 在双曲度量空间上具有广义余弦一致作用的群的临界指数，是否可被其真商群的临界指数逼近？
• RQ3 发散型相对双曲群在Bowditch边界上的Patterson-Sullivan测度是否唯一且遍历？
• RQ4 能否构造出增长率可任意接近群本身增长率、且过渡点均匀分布的测地根树？
• RQ5 此类树能否被嵌入小消去商群中，以实现增长率逼近？

主要发现

• 存在一列相对双曲群 $ G $ 的真相对双曲商群 $ \bar{G}_n $，使得 $ \boxed{\lim_{n \to \infty} \delta_{\bar{G}_n} = \delta_G} $。
• 自由挠几何有限克菜尼安群的临界指数可被其真商群的临界指数任意逼近。
• 发散型相对双曲群在Bowditch边界上的Patterson-Sullivan测度是唯一且遍历的。
• 偏阴影引理使得对锥与部分锥增长的精确控制成为可能，从而促进了高增长率树的构造。
• 对于足够大的 $ R $，$ (\epsilon,R) $-锥的部分锥类型数量有限，至多有 $ N = N(\epsilon,R) $ 种类型。
• 可构造出增长率任意接近 $ \delta_G $ 且过渡点均匀分布的测地根树，并将其嵌入小消去商群中。