[论文解读] Geometry and moduli of polarised varieties

Caucher Birkar|arXiv (Cornell University)|Jun 19, 2020

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 41被引用 13

一句话总结

本文在弱奇点和伪有效性条件下，建立了极化代数簇上具有拟正则且大 Weil 除子的线性系统之双有理有界性。证明了对于具有 $\epsilon$-lc 奇点且满足 $N - K_X$ 伪有效性的 $d$ 维代数簇 $X$，其中 $N$ 为拟正则且大 Weil 除子，则存在仅依赖于 $d$ 和 $\epsilon$ 的 $m$，使得线性系统 $|mN|$ 定义双有理映射，从而推出极化 Calabi-Yau 与 Fano 对的有界性，并存在射影粗模空间。

ABSTRACT

In this paper we investigate the geometry of projective varieties polarised by ample and more generally nef and big Weil divisors. First we study birational boundedness of linear systems. We show that if $X$ is a projective variety of dimension $d$ with $\epsilon$-lc singularities for $\epsilon>0$, and if $N$ is a nef and big Weil divisor on $X$ such that $N-K_X$ is pseudo-effective, then the linear system $|mN|$ defines a birational map for some natural number $m$ depending only on $d,\epsilon$. This is key to proving various other results. For example, it implies that if $N$ is a big Weil divisor (not necessarily nef) on a klt Calabi-Yau variety of dimension $d$, then the linear system $|mN|$ defines a birational map for some natural number $m$ depending only on $d$. It also gives new proofs of some known results, for example, if $X$ is an $\epsilon$-lc Fano variety of dimension $d$ then taking $N=-K_X$ we recover birationality of $|-mK_X|$ for bounded $m$. We prove similar birational boundedness results for nef and big Weil divisors $N$ on projective klt varieties $X$ when both $K_X$ and $N-K_X$ are pseudo-effective (here $X$ is not assumed $\epsilon$-lc). Using the above we show boundedness of polarised varieties under some natural conditions. We extend these to boundedness of semi-log canonical Calabi-Yau pairs polarised by effective ample Weil divisors not containing lc centres. Combining this with the moduli theory of stable pairs we show that polarised Calabi-Yau pairs and polarised Fano pairs admit projective coarse moduli spaces.

研究动机与目标

• 在弱奇点条件下，建立极化代数簇上具有拟正则且大 Weil 除子的线性系统的双有理有界性。
• 将关于反 canonical 系统双有理性的已知结果推广至一般 ample 且大 Weil 除子。
• 在自然几何条件下，证明极化 Calabi-Yau 与 Fano 对的有界性。
• 利用稳定对的模理论，构造极化 Calabi-Yau 与 Fano 对的射影粗模空间。
• 将结果推广至由不包含 lc 中心的有效 ample Weil 除子极化的半对数 canonical Calabi-Yau 对。

提出的方法

• 利用 $\epsilon$-lc 奇点与 $N - K_X$ 的伪有效性，控制 $d$ 维代数簇上线性系统的性质。
• 通过拟正则且大 Weil 除子的线性系统有界性结果，推导出仅依赖于 $d$ 和 $\epsilon$ 的 $|mN|$ 的双有理性。
• 借助 klt Calabi-Yau 与 Fano 代数簇的结构，将双有理有界性从拟正则除子推广至大 Weil 除子，即使除子本身不拟正则亦可。
• 应用稳定对与模空间理论，证明极化 Calabi-Yau 与 Fano 对的射影粗模空间的存在性。
• 利用极化除子不包含 lc 中心的条件，将结果推广至半对数 canonical 对。
• 结合有界性结果与模理论，证明在有效 ample 与伪有效性约束下，射影粗模空间的存在性。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种条件下，对于具有拟正则且大 Weil 除子 $N$ 的代数簇 $X$，其线性系统 $|mN|$ 会定义双有理映射，且 $m$ 仅依赖于维数与奇点类型？
• RQ2 双有理有界性能否从反 canonical 系统推广至 klt Calabi-Yau 代数簇上的一般大 Weil 除子？
• RQ3 在有效 ample 与伪有效性条件下，极化 Calabi-Yau 对有界性的必要与充分条件为何？
• RQ4 模理论如何应用于构造极化 Calabi-Yau 与 Fano 对的射影粗模空间？
• RQ5 双有理有界性结果在何种程度上可推广至由避开 lc 中心的 ample Weil 除子极化的半对数 canonical Calabi-Yau 对？

主要发现

• 对于具有 $\epsilon$-lc 奇点且满足 $N - K_X$ 伪有效的 $d$ 维代数簇 $X$，其中 $N$ 为拟正则且大 Weil 除子，则存在仅依赖于 $d$ 和 $\epsilon$ 的 $m$，使得线性系统 $|mN|$ 定义双有理映射。
• 在 $d$ 维 klt Calabi-Yau 代数簇上，任意大 Weil 除子 $N$ 均可使 $|mN|$ 定义双有理映射，其中 $m$ 仅依赖于 $d$。
• 该结果恢复了已知的 $\epsilon$-lc Fano 代数簇上 $|-mK_X|$ 的双有理性，且通过一般框架提供了新证明。
• 当 $K_X$ 与 $N - K_X$ 均为伪有效时，即使不假设 $\epsilon$-lc 奇点，双有理有界性仍对 klt 代数簇上的拟正则且大 Weil 除子 $N$ 成立。
• 在极化除子为 ample 且不包含 lc 中心的条件下，极化 Calabi-Yau 对的有界性得以确立。
• 通过稳定对的模理论，本文证明了极化 Calabi-Yau 与 Fano 对存在射影粗模空间。