[论文解读] Geometry of the vacant set left by random walk on random graphs, Wright's constants, and critical random graphs with prescribed degrees

Shankar Bhamidi, Sanchayan Sen|arXiv (Cornell University)|Aug 25, 2016

Topological and Geometric Data Analysis参考文献 55被引用 9

一句话总结

本文提出了一种显式算法，用于对具有指定度序列的均匀简单连通随机图进行采样，使得在有限三阶矩条件下，此类图及其度量结构可实现连续尺度极限。关键贡献在于，通过Wright常数和临界随机图理论，确定了随机正则图上随机游走留下的空置集中最大连通分量的度量空间尺度极限，从而解决了Černý与Teixeira提出的问题。

ABSTRACT

We provide an explicit algorithm for sampling a uniform simple connected random graph with a given degree sequence. By products of this central result include: (i) continuum scaling limits of uniform simple connected graphs with given degree sequence and asymptotics for the number of simple connected graphs with given degree sequence under some regularity conditions, and (ii) scaling limits for the metric space structure of the maximal components in the critical regime of both the configuration model and the uniform simple random graph model with prescribed degree sequence under finite third moment assumption on the degree sequence. As a substantive application we answer a question raised by Cerny and Teixeira by obtaining the metric space scaling limit of maximal components in the vacant set left by random walks on random regular graphs.

研究动机与目标

• 开发一种显式算法，用于生成具有给定度序列的均匀简单连通随机图。
• 建立具有给定度序列的临界随机图中最大连通分量的度量空间结构的连续尺度极限。
• 解决Černý与Teixeira关于随机正则图上随机游走所留空置集中最大连通分量的度量空间尺度极限的问题。
• 在正则性条件下，推导具有给定度序列的简单连通图数量的渐近公式。
• 通过Wright常数和临界图模型，将随机图上的空置集动力学与Erdős-Rényi普遍性类联系起来。

提出的方法

• 提出一种基于给定度序列下连通图的条件均匀生成的新型拒绝采样算法。
• 以配置模型为基础工具，通过条件化连通性和简单性来生成均匀连通图。
• 应用多重共聚理论和Gromov-Hausdorff收敛理论，推导临界参数范围内连通分量的度量空间尺度极限。
• 利用Wright常数刻画临界窗口中空置集的极限度分布。
• 建立空置图度序列收敛于极限随机变量 $ D_{\text{vac}} $ 的分布收敛性，其中 $ \mathbb{P}(D_{\text{vac}} = i) $ 通过渐近计数确定。
• 通过度序列上的平均测度，将空置图过程与配置模型耦合，实现尺度极限的转移。

实验结果

研究问题

• RQ1 在临界参数范围内，随机正则图上随机游走所留空置集的最大连通分量的尺度极限是什么？
• RQ2 如何显式采样具有给定度序列的均匀简单连通随机图？
• RQ3 在正则性条件下，具有指定度序列的简单连通图数量的渐近公式是什么？
• RQ4 在有限三阶矩假设下，具有给定度序列的临界随机图的度量空间结构如何收敛？
• RQ5 随机图上的空置集动力学在多大程度上属于Erdős-Rényi普遍性类？

主要发现

• 在较弱正则性条件下，提供了用于采样具有给定度序列的均匀简单连通随机图的显式算法。
• 在有限三阶矩假设下，具有给定度序列的简单连通图数量存在一个涉及Wright常数的渐近公式。
• 在具有给定度序列的临界配置模型中，最大连通分量的度量空间尺度极限在Gromov-Hausdorff拓扑下收敛于布朗连续随机树。
• 随机正则图上随机游走产生的空置图在分布上收敛于具有极限度分布 $ D_{\text{vac}} $ 的临界随机图模型，该分布由Wright常数刻画。
• 空置图的度序列收敛于 $ D_{\text{vac}} $，且 $ \mathbb{P}(D_{\text{vac}} = i) $ 通过渐近计数被显式确定。
• 随机正则图上空置集分量的尺度极限与Erdős-Rényi模型中的同一普遍极限一致，证实了临界参数范围内的普遍性。