[论文解读] Scaling limits of random graph models at criticality: Universality and the basin of attraction of the Erdős-Rényi random graph

Shankar Bhamidi, Nicolas Broutin+2 more|arXiv (Cornell University)|Jan 1, 2014

Complex Network Analysis Techniques参考文献 53被引用 36

一句话总结

本文建立了一套通用框架，用于证明在临界点处随机图模型的度量空间缩放极限中的普遍性，表明配置模型和非齐次随机图的连通分量结构收敛到与埃拉多斯-雷尼随机图相同的随机分形极限。关键结果是，在较弱的矩条件之下，这些模型的缩放连通分量在临界状态下收敛到连续随机树，证实了在一大类模型中普遍存在的行为。

ABSTRACT

A wide array of random graph models have been postulated to understand properties of observed networks. Typically these models have a parameter $t$ and a critical time $t_c$ when a giant component emerges. It is conjectured that for a large class of models, the nature of this emergence is similar to that of the Erd\\H{o}s-R\\'enyi random graph, in the sense that (a) the sizes of the maximal components in the critical regime scale like $n^{2/3}$, and (b) the structure of the maximal components at criticality (rescaled by $n^{-1/3}$) converges to random fractals. To date, (a) has been proven for a number of models using different techniques. This paper develops a general program for proving (b) that requires three ingredients: (i) in the critical scaling window, components merge approximately like the multiplicative coalescent, (ii) scaling exponents of susceptibility functions are the same as that of the Erd\\H{o}s-R\\'enyi random graph, and (iii) macroscopic averaging of distances between vertices in the barely subcritical regime. We show that these apply to two fundamental random graph models: the configuration model and inhomogeneous random graphs with a finite ground space. For these models, we also obtain new results for component sizes at criticality and structural properties in the barely subcritical regime.

研究动机与目标

• 建立一个通用程序，用于证明随机图模型在临界点处的度量空间缩放极限的普遍性。
• 证明配置模型和非齐次随机图的连通分量结构收敛到与埃拉多斯-雷尼随机图相同的极限分形结构。
• 确定在何种最小条件下，几乎亚临界区域中的乘性 coalescent、可及性标度和距离平均化可推导出普遍的连通分量几何结构。
• 为这些模型在临界和几乎亚临界区域中连通分量大小和几何结构推导出新的定量结果。

提出的方法

• 提出一个三步程序：(i) 在临界窗口中用乘性 coalescent 近似连通分量的合并，(ii) 将可及性标度指数与埃拉多斯-雷尼模型匹配，(iii) 在几乎亚临界区域中对距离进行宏观平均化。
• 使用大小加权探索过程和条件矩估计，以控制临界窗口中连通分量合并的动力学。
• 应用 Gromov-Hausdorff-Pompeiu (GHP) 收敛于度量测度空间，以形式化收敛到连续随机树的过程。
• 采用分支过程近似和修改后的图过程，将原始模型与可处理的近似模型耦合。
• 通过矩界和临界缩放窗口中的渐近展开，建立缩放连通分量大小和距离的收敛性。
• 利用配置模型与修改过程之间的耦合技术，将收敛结果转移至目标模型。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种一般条件下，随机图模型在临界点处的度量空间缩放极限与埃拉多斯-雷尼随机图相同？
• RQ2 乘性 coalescent 在多种随机图模型的临界窗口中，多大程度上能准确描述连通分量的合并动力学？
• RQ3 在几乎亚临界区域中，可及性函数和距离性质在多大程度上决定了临界几何的普遍性？
• RQ4 在度数方差有限的假设下，配置模型的连通分量结构是否能收敛到与埃拉多斯-雷尼模型相同的极限分形？
• RQ5 对于具有有限基空间的非齐次随机图，在临界和几乎亚临界区域中会涌现出何种结构性质？

主要发现

• 配置模型的缩放连通分量在分布上收敛到与埃拉多斯-雷尼随机图相同的极限连续随机树，证实了度量空间缩放极限的普遍性。
• 对于配置模型，临界点处的连通分量大小按 $ n^{2/3} $ 缩放，距离按 $ n^{1/3} $ 缩放，与埃拉多斯-雷尼模型行为一致。
• 配置模型的可及性函数表现出与埃拉多斯-雷尼模型相同的临界指数 $ 2/3 $，支持普遍性结论。
• 在几乎亚临界区域中，顶点间平均距离按 $ n^{1/3} $ 缩放，与临界极限一致。
• 对于具有有限基空间的非齐次随机图，在核的矩条件成立下，同样建立了收敛到连续随机树的结果。
• 证明表明，用于耦合配置模型的修改过程 $ ilde{ m{CM}}_n $ 保留了正确的连通分量结构和缩放极限。