[论文解读] Geometry without Topology

Yuri A. Rylov|ArXiv.org|Feb 20, 2000

Advanced Theoretical and Applied Studies in Material Sciences and Geometry参考文献 6被引用 4

一句话总结

本文提出了一种仅基于度量和有限度量子空间的几何形式——特别是黎曼几何，完全不依赖于曲线或连续性等拓扑概念。通过使用海伦公式定义几何对象（如直线）为三角形面积为零的点集，该方法消除了对曲线和拓扑的依赖，从而实现一种非退化的、非连续的几何体系，该体系通过非退化的共线性锥自然地引入了类似量子的效应。

ABSTRACT

The proper Euclidean geometry is considered to be metric space and described in terms of only metric and finite metric subspaces (sigma-immanent description). Constructing the geometry, one does not use topology and topological properties. For instance, the straight, passing through points A and B, is defined as a set of such points R that the area S(A,B,R) of the triangle ABR vanishes. The triangle area is expressed via metric by means of the Hero's formula, and the straight appears to be defined only via metric, i.e. without a reference to (topological) concept of curve. (Usually the straight is defined as the shortest curve, connecting two points A and B). Such a construction of geometry is free from constraints (continuity, dimensionality of space), generated by a use of topology, but not by geometry in itself. At such a description all information on the geometry properties (such as uniformity, isotropy, continuity and degeneracy) is contained in metric. Modifying the metric, one changes the geometry automatically. The Riemannian geometry is constructed by two different ways: (1) by conventional way on the basis of metric tensor, (2) as a result of modification of the metric in the sigma-immanent description of the proper Euclidean geometry. The two obtained geometries are compared. The convexity problem in geometry and the problem of collinerity of vectors at distant points are considered. The nonmetric definition of curve is shown to be a concept of only proper Euclidean geometry. It is inadequate to any non-Euclidean geometry.

研究动机与目标

• 开发一种不依赖于拓扑和曲线概念的几何形式。
• 通过修改度量但保持几何结构，推广欧氏几何。
• 通过避免将测地线定义为最短曲线，解决黎曼几何中的基础问题，如凸性问题和路径依赖的平行移动。
• 构建一种几何体系，使类似量子的行为自然地从非退化的共线性锥和世界管厚度中涌现。
• 证明量子常数 ħ 可作为时空几何属性自然出现，而非人为假设的原理。

提出的方法

• 仅通过点之间的度量 ρ(P,Q) 定义几何，不涉及连续性、曲线或拓扑。
• 将直线定义为使三角形 ABR 的面积 S(A,B,R) 为零的点 R 的集合，使用海伦公式计算。
• 使用有限度量子空间（σ-子空间）和多重向量（从离散集到点集的映射）表示几何对象。
• 通过两条路径构建黎曼几何：(1) 标准度量张量方法，(2) 修改欧氏几何的 σ-内在描述。
• 引入“世界管”概念，作为粒子轨迹的物理实现，其厚度用于建模量子效应。
• 用离散多重向量（如 m_n: {0,1,...,n} → Ω）替代连续曲线，降低复杂度并消除拓扑假设。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否在不依赖曲线或连续性拓扑概念的前提下构建几何？
• RQ2 如何仅通过度量定义直线的概念，而不涉及最短路径？
• RQ3 当移除拓扑结构并仅基于有限度量子空间时，共线性和平行性等基本几何性质会发生什么变化？
• RQ4 能否在不假设量子力学的前提下，从非退化、非连续的几何中自然涌现出量子现象？
• RQ5 是否存在一种时空几何模型，使得量子常数 ħ 作为世界管厚度的几何属性自然出现？

主要发现

• 通过要求三角形 ABR 的面积为零（使用海伦公式计算），可仅通过度量定义直线，从而无需引入“曲线”概念。
• 凸性问题——即移除某区域后影响远处几何性质——源于度量对“曲线”概念的依赖，而该问题在 σ-内在方法中得以避免。
• 在修改后的几何中，远距离点的共线性锥不会退化，导致平行移动具有路径依赖性，这与广义相对论一致，但与绝对平行性不一致。
• 共线性锥的非退化性导致自由粒子世界管的随机性，其统计行为可被证明与量子力学一致。
• 量子常数 ħ 作为世界管厚度的几何属性自然出现，表明量子力学可能是小尺度时空几何的后果，而非基本假设。