[论文解读] Global classical solution to 3D isentropic compressible Navier-Stokes equations with large initial data and vacuum

Xiaofeng Hou, Hongyun Peng+1 more|arXiv (Cornell University)|Mar 10, 2015

Navier-Stokes equation solutions参考文献 25被引用 5

一句话总结

该论文在绝热指数 γ 接近 1 或粘性系数 μ 较大的条件下，证明了三维等熵可压缩纳维-斯托克斯方程在初始能量较大且存在真空时全局经典解的存在性。关键结果表明，即使初始能量较大，只要 (γ−1)、远场密度 ρ̃ 和粘性系数 μ 的某些组合足够小，全局解依然存在，这是三维空间中初始能量较大且含真空情况下的首个此类结果。

ABSTRACT

In this paper, we investigate the existence of a global classical solution to 3D Cauchy problem of the isentropic compressible Navier-Stokes equations with large initial data and vacuum. Precisely, when the far-field density is vacuum ($\widetildeρ=0$), we get the global classical solution under the assumption that $(γ-1)^\frac{1}{3}E_0μ^{-1}$ is suitably small. In the case that the far-field density is away from vacuum ($\widetildeρ>0$), the global classical solution is also obtained when $\left((γ-1)^\frac{1}{36}+\widetildeρ^\frac{1}{6} ight)E_0^{\frac{1}{4}}μ^{-\frac{1}{3}}$ is suitably small. The above results show that the initial energy $E_0$ could be large if $γ-1$ and $\widetildeρ$ are small or the viscosity coefficient $μ$ is taken to be large. These results improve the one obtained by Huang-Li-Xin in \cite{Huang-Li-Xin}, where the existence of the classical solution is proved with small initial energy. It should be noted that in the theorems obtained in this paper, no smallness restriction is put upon the initial data. It can be viewed the first result on the existence of the global classical solution to three-dimensional Navier-Stokes equations with large initial energy and vacuum when $γ$ is near $1$.

研究动机与目标

• 建立三维等熵可压缩纳维-斯托克斯方程在初始能量较大且含真空条件下的全局经典解的存在性。
• 克服由于真空导致动量方程退化所带来的困难，该问题使得解的正则性和唯一性变得复杂。
• 通过在特定物理解析参数条件下允许初始能量较大，将先前仅限于小初始能量结果的范围加以拓展。
• 证明即使初始数据不满足小量条件，全局经典解依然存在，特别是当 γ 接近 1 或粘性系数 μ 较大时。
• 解决三维空间中含真空和大初始数据时全局经典解存在性这一长期悬而未决的重大问题。

提出的方法

• 利用先验能量估计和加权 L∞ 估计，控制密度和速度随时间的增长。
• 采用 Huang-Li-Xin（2016）提出的方法的改进版本，但通过在 (γ−1)、ρ̃ 和 μ 上引入与尺度相关的条件，将其扩展至大初始能量情形。
• 将时间区间进行分解，并利用引理 2.3 控制密度的逐点演化，方法是通过对与压强和粘性相关的函数 b(t) 施加有界性条件。
• 实施一种Bootstrap论证，以闭合对密度 L∞ 范数的先验假设，确保其始终有界于初始密度上界的 7/4 倍以内。
• 推导光滑解 (ρ, u) 的时间依赖型高阶范数估计，沿用 Huang-Li-Xin（2016）的技术，但将其适配至大能量情形。
• 对组合量 ((γ−1)^{1/36} + ρ̃^{1/6})E₀^{1/4}μ^{-1/3} 施加小量条件，以控制非线性项并确保全局存在性。

实验结果

研究问题

• RQ1 三维等熵可压缩纳维-斯托克斯方程在初始能量较大且含真空时，是否可能存在全局经典解？
• RQ2 绝热指数 γ、远场密度 ρ̃ 和粘性系数 μ 需满足何种条件，才能在初始能量较大的情况下保证全局经典解的存在？
• RQ3 是否可以在不施加初始数据小量限制的前提下，依然确保含真空时解的全局存在性和正则性？
• RQ4 当 γ 接近 1 且粘性系数 μ 较大时，二者之间的相互作用如何影响解的长期行为和正则性？
• RQ5 能否将经典解框架扩展至三维可压缩流体中大能量假设之外的范围，且在含真空条件下依然成立？

主要发现

• 当远场密度为真空（ρ̃=0）时，若 (γ−1)^{1/3}E₀μ^{-1} 足够小，则三维等熵可压缩纳维-斯托克斯方程在初始能量较大的条件下存在全局经典解。
• 当远场密度为正（ρ̃>0）时，若 ((γ−1)^{1/36} + ρ̃^{1/6})E₀^{1/4}μ^{-1/3} 足够小，则存在全局经典解。
• 若 γ−1 较小或 μ 较大，则初始能量 E₀ 可以较大，表明大初始能量并不排除全局正则性。
• 在所述小量条件成立下，解在 L∞(ℝ³) 中有界，满足 supₜ‖ρ‖_{L∞} ≤ 7/4 ρ̄。
• 该结果是三维可压缩纳维-斯托克斯方程在 γ 接近 1 且初始能量较大、含真空条件下首个全局经典解。
• 分析结果表明，对初始数据本身无需施加小量限制，仅需对特定物理解析参数组合与能量的乘积施加小量条件。