[论文解读] Global Well-posedness of Non-Markovian Multidimensional Superquadratic BSDE

Kihun Nam|arXiv (Cornell University)|Dec 8, 2019

Stochastic processes and financial applications参考文献 34被引用 4

一句话总结

本文通过基于后向迭代和完全耦合路径相关FBSDEs的局部适定性的概率方法，建立了多维、非马尔可夫后向随机微分方程（BSDEs）在梯度上具有超二次增长的全局适定性。关键贡献是针对此类BSDEs的一般存在性与唯一性结果，进一步推广至具有超二次非线性的路径相关PDEs。

ABSTRACT

(Working Paper) Using a purely probabilistic argument, we prove the global well-posedness of multidimensional superquadratic backward stochastic differential equations (BSDEs) without Markovian assumption. The key technique is the interplay between the local well-posedness of fully coupled path-dependent forward backward stochastic differential equations (FBSDEs) and backward iterations of the superquadratic BSDE. The superquadratic BSDE studied in this article includes quadratic BSDEs appear in stochastic differential game and price impact model. We also study the well-posedness of superquadratic FBSDEs and FBSDEs with measurable coefficients using the corresponding BSDE results. Our result also provides the well-posedness of a system of path-dependent quasilinear partial differential equations where the nonlinearity has superquadratic growth in the gradient of the solution.

研究动机与目标

• 在不假设马尔可夫性的情况下，建立多维后向随机微分方程（BSDEs）在梯度上具有超二次增长的全局适定性。
• 将适定性框架扩展至具有可测系数的完全耦合路径相关FBSDEs。
• 建立超二次BSDEs的解与具有梯度上超二次非线性的路径相关拟线性PDE系统可解性之间的联系。
• 开发一种不依赖PDE技术或马尔可夫性假设的概率方法。

提出的方法

• 利用超二次BSDE的后向迭代，逐步构造解。
• 依赖于完全耦合路径相关前向-后向SDEs（FBSDEs）的局部适定性作为基础步骤。
• 采用纯粹的概率论证，避免使用PDE方法或马尔可夫性假设。
• 建立BSDE解与路径相关拟线性PDE系统解之间的联系。
• 应用可测系数条件，将结果扩展至具有较低正则性系数的FBSDEs。
• 利用局部FBSDE适定性与迭代BSDE逼近之间的相互作用，实现全局存在性与唯一性。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否在不假设马尔可夫性质的情况下，建立多维超二次BSDEs的全局适定性？
• RQ2 在缺乏马尔可夫结构的情况下，如何利用BSDE的后向迭代来构造全局解？
• RQ3 超二次BSDEs与具有梯度上超二次非线性的路径相关拟线性PDE系统之间存在何种联系？
• RQ4 能否通过BSDE框架将适定性结果扩展至具有可测系数的FBSDEs？
• RQ5 在求解超二次BSDEs时，可使用哪些概率技术来绕过基于PDE的方法？

主要发现

• 在不依赖马尔可夫性假设的前提下，建立了多维、非马尔可夫BSDEs在梯度上具有超二次增长的全局适定性。
• 该解法依赖于后向迭代和完全耦合路径相关FBSDEs的局部适定性。
• 该框架适用于在随机微分博弈和价格影响模型中出现的二次BSDEs。
• 通过BSDE结果，将适定性扩展至具有可测系数的FBSDEs。
• 结果表明，具有梯度上超二次非线性的路径相关拟线性PDE系统是可解的。
• 该方法为求解此类方程提供了基于概率的替代方案，避免了依赖PDE方法。