[论文解读] The Wellposedness of Path-dependent Multidimensional Forward-backward SDE

Kaitong Hu|arXiv (Cornell University)|Aug 24, 2019

Stochastic processes and financial applications参考文献 22被引用 4

一句话总结

该论文通过在路径空间上构建全局解耦随机场，建立了路径依赖型多维前向-后向随机微分方程（FBSDEs）的适定性。利用特征BSDE来拼接局部解，证明了在特征BSDE解有界条件下的解的存在性、唯一性与稳定性。

ABSTRACT

We study in this paper the wellposedness of path-dependent multidimensional forward-backward stochastic differential equations (FBSDE). By path-dependent we mean that the coefficients of the forward-backward SDE at time t can depend on the whole path of the forward process up to time t. These kinds of forward-backward SDE appear when solving path-dependent stochastic control problem by means of variational calculus. At the heart of our analysis is the construction of a decoupling random field on the path space. We first prove the existence and the uniqueness of decoupling field on small time interval. Then by introducing the characteristic BSDE, we show that a global decoupling field can be constructed by patching local solutions together as long as the solution of the characteristic BSDE remains bounded. Finally, we show that the solution of a path-dependent forward-backward SDE is stable.

研究动机与目标

• 建立路径依赖型多维前向-后向SDE的解的存在性与唯一性，其中系数依赖于前向过程的整个历史路径。
• 解决在路径空间上构建全局解耦场的挑战，这是求解此类FBSDEs的关键。
• 确保解在扰动下的稳定性，这对随机控制与数值分析中的应用至关重要。
• 将经典FBSDE理论扩展至与变分法和随机控制问题相关的路径依赖设定。

提出的方法

• 在路径空间上构造解耦随机场，以连接FBSDE的前向与后向分量。
• 通过路径空间上的不动点论证，证明在小时间区间内解耦场的局部存在性与唯一性。
• 引入一个特征后向随机微分方程（BSDE）以追踪解耦场随时间的演化。
• 将特征BSDE解的有界性作为关键条件，用于将局部解耦场拼接为全局解。
• 应用稳定性分析，表明系数或初始路径的微小扰动仅导致解的微小变化。
• 利用路径样本分析与连续路径空间上的随机分析，处理问题的非马尔可夫性质。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种条件下，路径依赖型多维FBSDE存在唯一解？
• RQ2 当局部解仅在小时间区间内存在时，如何构造全局解耦场？
• RQ3 特征BSDE的解在确保解耦场的全局存在性中起到何种作用？
• RQ4 路径依赖型FBSDE的解在系数或初始路径扰动下是否稳定？
• RQ5 解耦场方法能否扩展至高维情形下的非马尔可夫、路径依赖型系数？

主要发现

• 在小时间区间内存在唯一的局部解耦场，从而实现了FBSDE的局部求解。
• 只要特征BSDE的解保持有界，即可通过拼接局部解构造出全局解耦场。
• 路径依赖型FBSDE的解对系数或初始路径的扰动具有稳定性。
• 特征BSDE作为关键工具，用于控制解耦场的全局延拓。
• 该方法适用于多维系统，并能处理非马尔可夫、路径依赖型系数。
• 研究结果为通过变分法求解路径依赖型随机控制问题提供了理论基础。