[论文解读] Graph Isomorphism in Quasipolynomial Time Parameterized by Treewidth

Daniel Wiebking|arXiv (Cornell University)|Nov 25, 2019

Advanced Graph Theory Research参考文献 34被引用 2

一句话总结

该论文提出了一种参数化为树宽的图同构的准多项式时间算法，运行时间为 $ n^{ ext{polylog}(k)} $，其中 $ n $ 为顶点数，$ k $ 为最小树宽。该工作通过引入多重陪集同构问题，在 Babai 的群论框架基础上，高效地组合图的分解方式，从而实现了对有界树宽图的首个非平凡参数化改进，超越了 Babai 的一般准多项式时间界。

ABSTRACT

We extend Babai's quasipolynomial-time graph isomorphism test (STOC 2016) and develop a quasipolynomial-time algorithm for the multiple-coset isomorphism problem. The algorithm for the multiple-coset isomorphism problem allows to exploit graph decompositions of the given input graphs within Babai's group-theoretic framework. We use it to develop a graph isomorphism test that runs in time $n^{\operatorname{polylog}(k)}$ where $n$ is the number of vertices and $k$ is the minimum treewidth of the given graphs and $\operatorname{polylog}(k)$ is some polynomial in $\operatorname{log}(k)$. Our result generalizes Babai's quasipolynomial-time graph isomorphism test.

研究动机与目标

• 开发一种参数化图同构算法，以在有界树宽图上改进 Babai 的准多项式时间界。
• 解决在群论框架内高效合并图分解中各部分同构性的挑战。
• 将 Babai 的字符串同构方法推广至利用图论分解（如树分解）的场景。
• 通过实现与树宽的多对数依赖的准多项式时间界，解决图同构是否具有参数化为树宽的 FPT 算法这一开放问题。

提出的方法

• 引入多重陪集同构问题作为正式框架，用于组合由树分解定义的图组件之间的同构关系。
• 将图同构问题约化为作用于图组件上排列群所导出的标记陪集上的规范标记问题。
• 对构造的图 $ U $ 应用 Babai 的群论规范算法（CLGraph），该图通过标记陪集编码了组件及其顺序。
• 使用标记陪集 $ \Delta_U\rho_U $ 同时编码组件的顺序（通过 $ \prec $）及每个组件内部的标记。
• 对扩展图 $ G = (U, E) $ 执行规范标记过程，以在原始顶点集 $ V $ 上诱导出规范标记，确保在同构下保持不变。
• 通过在重标记下保持不变性证明正确性，并表明在原始顶点集上诱导出的自同构群恰好对应于原始输入图的自同构群。

实验结果

研究问题

• RQ1 Babai 的准多项式时间同构算法能否被扩展以利用图分解（如树宽）？
• RQ2 是否可能设计一种图同构算法，使得在树宽为 $ k $ 的图上运行时间达到 $ n^{\text{polylog}(k)} $，从而改进以往的 FPT 和固定参数界？
• RQ3 当图组件由树分解定义且其对称性编码于排列群中时，如何高效合并多个图组件之间的同构关系？
• RQ4 在群论框架内，多重陪集同构问题能否被高效求解，从而实现图同构的参数化加速？

主要发现

• 该论文提出了一种运行时间为 $ n^{\text{polylog}(k)} $ 的图同构算法，其中 $ n $ 为顶点数，$ k $ 为树宽，显著优于以往的 FPT 界。
• 该算法通过将图同构问题约化为构造的标记陪集 $ \Delta_U\rho_U $ 上的规范标记问题来实现，该陪集编码了组件顺序和内部标记。
• 通过在重标记下保持不变性，并证明在原始顶点集上诱导出的自同构群与输入图的自同构群完全一致，确立了该算法的正确性。
• 该框架将 Babai 的准多项式时间算法推广至有界树宽图，提供了该场景下的首个非平凡参数化改进。
• 该方法通过引入形式化的多重陪集同构问题并利用群论规范算法求解，解决了在分解图组件之间高效合并同构关系的开放问题。
• 该结果表明，可从该框架推导出参数化为树宽的图规范算法，从而扩展了 Babai 最近在规范算法方面的工作。