[论文解读] Graph product structure for non-minor-closed classes

Vida Dujmović, Pat Morin+1 more|arXiv (Cornell University)|Jul 11, 2019

Computational Geometry and Mesh Generation被引用 6

一句话总结

本文建立了非极小图闭包图类的乘积结构定理，证明了每个 $k$-平面图同构于一个树宽 $O(k^5)$ 的图与一条路径的强积的子图。该结果将乘积结构定理的应用范围从极小图闭包类扩展至非极小图闭包类，从而为 $k$-平面图及其相关图类提供了非重复着色、中心着色和通用图的新界。

ABSTRACT

Dujmović et al. [\emph{J.~ACM}~'20] recently proved that every planar graph is isomorphic to a subgraph of the strong product of a bounded treewidth graph and a path. Analogous results were obtained for graphs of bounded Euler genus or apex-minor-free graphs. These tools have been used to solve longstanding problems on queue layouts, non-repetitive colouring, $p$-centered colouring, and adjacency labelling. This paper proves analogous product structure theorems for various non-minor-closed classes. One noteable example is $k$-planar graphs (those with a drawing in the plane in which each edge is involved in at most $k$ crossings). We prove that every $k$-planar graph is isomorphic to a subgraph of the strong product of a graph of treewidth $O(k^5)$ and a path. This is the first result of this type for a non-minor-closed class of graphs. It implies, amongst other results, that $k$-planar graphs have non-repetitive chromatic number upper-bounded by a function of $k$. All these results generalise for drawings of graphs on arbitrary surfaces. In fact, we work in a more general setting based on so-called shortcut systems, which are of independent interest. This leads to analogous results for certain types of map graphs, string graphs, graph powers, and nearest neighbour graphs.

研究动机与目标

• 将乘积结构定理——此前仅适用于极小图闭包类（如平面图和 apex-极小图自由图）——推广至非极小图闭包图类，例如 $k$-平面图。
• 基于捷径系统构建一个通用框架，以捕捉包括字符串图、地图图和最近邻图在内的多种非极小图闭包图类。
• 利用新结构结果，推导这些图类在非重复着色、$p$-中心着色和邻接标记方面的定量界。
• 通过引入 $(g,k)$-平面图和 $(g,\text{clique})$-地图图，将结果推广至曲面上嵌入图。
• 证明 $n$-顶点图类中存在大小为 $n^{1+o(1)}$ 的通用图，使其可作为诱导子图包含于其中。

提出的方法

• 引入捷径系统作为捕捉具有有界局部交叉或交集模式图类的通用框架。
• 证明 $k$-平面图具有有界扩张的分层划分，从而可嵌入于低树宽图与一条路径的积中。
• 利用树宽为 $O(k^5)$ 的图 $H$ 与路径的强积 $H \boxtimes P$ 来表示 $k$-平面图，推广了此前对平面图和有界亏格图的结果。
• 利用树宽有界图的已知色数与着色参数界，推导出该积类的界。
• 通过与已知积图结果的复合，将该框架应用于推导 $p$-中心着色、非重复着色和通用图的界。
• 通过定义 $(g,k)$-平面图（在欧拉亏格为 $g$ 的曲面上每条边有 $k$ 个交叉的图）并证明相应的结构定理，将结果推广至曲面上嵌入图。

实验结果

研究问题

• RQ1 乘积结构定理能否推广至非极小图闭包图类（如 $k$-平面图）？
• RQ2 在 $k$-平面图的强积表示中，基图的树宽依赖关系如何？
• RQ3 $k$-平面图及其相关类（如字符串图、地图图）的结构特性如何影响其着色与标记复杂度？
• RQ4 捷径系统框架能否用于统一推导多种图类在非重复着色与 $p$-中心着色上的界？
• RQ5 $n$-顶点图类是否具有大小为 $n^{1+o(1)}$ 的通用图，使其可作为诱导子图包含于其中？

主要发现

• 每个 $k$-平面图同构于一个树宽 $O(k^5)$ 的图与一条路径的强积的子图，这是首个针对非极小图闭包类的此类结果。
• $k$-平面图的非重复色数由 $k$ 的函数有界，具体由乘积结构与树宽有界图的已知界所隐含。
• $k$-平面图的 $p$-中心色数有界于 $(18k^2 + 48k + 30) \times 4^{\binom{k+4}{3}}$，对固定的 $k$ 为 $p$ 的多项式，优于此前的双指数界。
• 对于 $(g,k)$-平面图，$p$-中心色数有界于 $\text{max}\big\brace{2g,3\big\brace} \times (6k^2 + 16k + 10)(p+1)\binom{p + \binom{k+4}{3} - 1}{\binom{k+4}{3} - 1}$，对固定的 $g,k$ 同样为 $p$ 的多项式。
• 存在一个大小为 $n^{1+o(1)}$ 的通用图 $U_n$，其包含所有 $n$-顶点的 $(g,k)$-平面图、$(g,d)$-地图图、$(g,\nu)$-字符串图、$k$-最近邻图以及最大度 $\triangle$ 的 $X$-极小图自由图的 $k$-次幂作为诱导子图。
• 该框架为 $d$-地图图和 $k$-最近邻图提供了非重复着色与 $p$-中心着色的界，尽管这些界弱于基于度的界，而后者在这些情形下更紧。