[论文解读] Distributed Treewidth Computation and Courcelle's Theorem in the CONGEST Model

Jauregui, Benjamin, Li, Jason+2 more|arXiv (Cornell University)|May 27, 2018

Advanced Graph Theory Research参考文献 2被引用 5

一句话总结

本文提出了一种在 CONGEST 模型下的分布式算法，可在 Õ(D) 轮内决定有界树宽图上的单元二阶（MSO）逻辑性质，其中 D 为网络直径。该方法首先在 Õ(k^O(k)D) 轮内计算出宽度为 O(k) 的低拥塞树分解，从而通过低拥塞快捷方式和顶点分隔子计算，在该分解上实现高效的动态规划。

ABSTRACT

Algorithmic meta-theorems, stating that graph properties expressible in some particular logic can be decided efficiently in graph classes having some specific structural properties, are now standard in sequential graph algorithms. One of the most classic examples is Courcelle's theorem: all properties expressible in Monadic Second-Order logic (MSO) are decidable in linear time in graphs of bounded treewidth. We provide here a distributed version of Courcelle's theorem, in the standard CONGEST model for distributed computing: For any MSO formula $φ$ and any constant $k$, there is a CONGEST algorithm that, given an input communication network $G$ of treewidth at most $k$ and of diameter $D$, decides if $G$ satisfies property $φ$ in $ ilde O(D)$ rounds. Simple examples show that the dependency on $D$ is unavoidable. Also, if we drop the assumption of bounded treewidth, deciding MSO properties such as 3-colorability are known to require $ ildeΩ(n^2)$ rounds in the CONGEST model. Our results extend to optimization problems (e.g., computing a maximum size independent set, or a minimum dominating set) and counting (e.g. triangle counting). As usual, the $ ilde{O}$ notation hides polylogarithmic factors in $n$; here it also hides a constant factor depending on $k$ and on the MSO formula $φ$. We also give a distributed algorithm producing a linear approximation for treewidth: For any $k$, it decides that the treewidth of the input network $G$ is larger than $k$ or computes a tree decomposition of width $O(k)$ and depth $O(\log n)$, in $ ilde O(k^{O(k)} D)$ rounds in CONGEST. Our algorithms make use of the low-congestion shortcuts framework introduced by Ghaffari and Haeupler [SODA 2016], and our main technical tool is an $ ilde O(k^4 D)$ algorithm for computing $(s,t)$-vertex separators of size at most $k+1$ in graphs of treewidth at most $k$.

研究动机与目标

• 将 Courcelle 定理扩展至分布式 CONGEST 模型，以在有界树宽图上高效决策 MSO 性质。
• 设计一种分布式算法，为树宽 ≤ k 的图计算宽度为 O(k) 的树分解，且具有低深度与低拥塞。
• 在 CONGEST 模型下，针对有界树宽图实现 MSO 决策、优化与计数问题的亚线性轮复杂度。
• 通过证明 D 依赖性不可避免且无界树宽导致 ω(n²) 下界，建立紧致的轮复杂度界限。

提出的方法

• 利用低拥塞快捷方式框架，实现在树分解上的高效分布式计算。
• 设计了一种 Õ(k⁴D)-轮算法，用于在树宽 ≤ k 的图中计算大小 ≤ k+1 的 (s,t)-顶点分隔子。
• 利用这些分隔子在 Õ(k^O(k)D) 轮内构建宽度为 O(k)、深度为 O(log n) 的树分解。
• 通过自底向上与自顶向下传播同态类信息，在树分解上应用动态规划。
• 通过同态类的表格编码 MSO 公式的评估，优化与计数变体则通过对类组合使用最大值与求和运算。
• 通过每棵树上边的使用次数为多对数级别，管理拥塞，确保每轮消息大小保持在 O(log n) 位。

实验结果

研究问题

• RQ1 在 CONGEST 模型中，对于有界树宽图，是否可在 Õ(D) 轮内决定 MSO 性质？
• RQ2 在 CONGEST 模型中，是否可能在亚线性轮数内计算出低宽度树分解？
• RQ3 当树宽无界时，MSO 评估的轮复杂度是多少？
• RQ4 所设计的分布式树分解能否用于解决 MSO 之外的其他问题，例如自同构检测？
• RQ5 能否利用局部性与有界局部树宽特性，为局部 MSO 公式实现常数轮算法？

主要发现

• 对于任意树宽 ≤ k 的图，MSO 公式 φ 可在 Õ(D) 轮内于 CONGEST 模型中被决定，且对 D 的依赖性不可避免。
• 可在 Õ(k^O(k)D) 轮内计算出宽度为 O(k)、深度为 O(log n) 的树分解，且该算法可判断树宽是否超过 k。
• 通过在分解上应用动态规划，该算法可在 Õ(D) 轮内支持最大独立集与最小支配集等优化问题。
• 计数问题（如三角形计数）可在 Õ(D) 轮内解决，但因数值表示需额外 log(♯sol(n)) 因子。
• 轮复杂度是紧致的：在无有界树宽时，3-着色等 MSO 性质需 ˜Ω(n²) 轮。
• 通过使用低拥塞快捷方式与 (s,t)-顶点分隔子，即使在子树非不相交且带宽受限的情况下，仍能实现高效的分布式计算。