[论文解读] Graphs of bounded degree and the $p$-harmonic boundary

Michael J. Puls|arXiv (Cornell University)|Jun 18, 2008

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 12被引用 5

一句话总结

本文为有界度数图定义了 $p$-次调和边界，并证明了有限生成群 $\Gamma$ 的一阶约化 $\ell^p$-上同调 vanishes 当且仅当 $p$-次调和边界的基数为 0 或 1。关键贡献在于通过 $p$-次调和边界刻画了 $\bar{H}^{1}_{(p)}(\Gamma) = 0$，将上同调消失与边界结构联系起来，并表明连续的 $p$-次调和函数可从边界连续延拓。

ABSTRACT

Let $p$ be a real number greater than one and let $G$ be a connected graph of bounded degree. In this paper we introduce the $p$-harmonic boundary of $G$. We use this boundary to characterize the graphs $G$ for which the constant functions are the only $p$-harmonic functions on $G$. It is shown that any continuous function on the $p$-harmonic boundary of $G$ can be extended to a function that is $p$-harmonic on $G$. Some properties of this boundary that are preserved under rough-isometries are also given. Now let $Γ$ be a finitely generated group. As an application of our results we characterize the vanishing of the first reduced $\ell^p$-cohomology of $Γ$ in terms of the cardinality of its $p$-harmonic boundary. We also study the relationship between translation invariant linear functionals on a certain difference space of functions on $Γ$, the $p$-harmonic boundary of $Γ$ with the first reduced $\ell^p$-cohomology of $Γ$.

研究动机与目标

• 为有界度数图定义并研究 $p$-次调和边界，将 Royden 型边界推广至 $p$-次调和设定。
• 通过 $p$-次调和边界的基数刻画有限生成群 $\Gamma$ 的一阶约化 $\ell^p$-上同调 $\bar{H}^{1}_{(p)}(\Gamma)$ 的消失。
• 建立 $D_p(\Gamma)/\mathbb{R}$ 上非零连续平移不变线性泛函与 $\bar{H}^{1}_{(p)}(\Gamma)$ 非消失之间的对应关系。
• 研究 $p$-次调和边界在粗等距下的不变性，并将其与 $p$-次调和函数及上同调联系起来。

提出的方法

• 将有界度数图 $G$ 的 $p$-次调和边界 $\partial_p(G)$ 定义为趋于无穷的序列的等价类集合，其中收敛性通过 $p$-次调和函数定义。
• 利用 $p$-次调和结构和 $p$-拉普拉斯算子 $\triangle_p$ 定义 $p$-次调和函数，并将其与上同调消失联系起来。
• 应用 Hahn-Banach 定理，将 $D_p(\Gamma)/\mathbb{R}$ 上非零连续平移不变线性泛函的存在性与 $\bar{H}^{1}_{(p)}(\Gamma)$ 的非消失联系起来。
• 证明 $\bar{H}^{1}_{(p)}(\Gamma) = 0$ 当且仅当 $\Gamma$ 上唯一的 $p$-次调和函数是常数，这恰好发生在 $\partial_p(\Gamma)$ 的基数为 0 或 1 时。
• 证明任意定义在有界度数图 $G$ 的 $p$-次调和边界 $\partial_p(G)$ 上的连续函数均可延拓为 $G$ 上的 $p$-次调和函数，从而确立边界延拓性质。
• 利用粗等距证明 $p$-次调和边界的结构在粗几何等价下保持不变。

实验结果

研究问题

• RQ1 有限生成群 $\Gamma$ 的一阶约化 $\ell^p$-上同调 $\bar{H}^{1}_{(p)}(\Gamma)$ 何时消失？其几何表征为何？
• RQ2 $p$-次调和边界 $\partial_p(\Gamma)$ 的基数与 $\Gamma$ 上非平凡 $p$-次调和函数的存在性之间存在何种精确关系？
• RQ3 $D_p(\Gamma)/\mathbb{R}$ 上的连续平移不变线性泛函如何与上同调 $\bar{H}^{1}_{(p)}(\Gamma)$ 及 $p$-次调和边界相关？
• RQ4 $p$-次调和边界在粗等距下是否不变？它保持了哪些几何不变量？
• RQ5 $p$-次调和边界能否用于解决 Gromov 的猜想：对所有 $p > 1$，可约群的一阶约化 $\ell^p$-上同调消失？

主要发现

• 有限生成群 $\Gamma$ 的一阶约化 $\ell^p$-上同调 $\bar{H}^{1}_{(p)}(\Gamma)$ 消失当且仅当 $p$-次调和边界 $\partial_p(\Gamma)$ 的基数为 0 或 1。
• $\Gamma$ 上唯一的 $p$-次调和函数是常数当且仅当 $\partial_p(\Gamma)$ 为空集或单点集，这与 $\bar{H}^{1}_{(p)}(\Gamma) = 0$ 等价。
• 任意定义在有界度数图 $G$ 的 $p$-次调和边界 $\partial_p(G)$ 上的连续函数均可延拓为 $G$ 上的 $p$-次调和函数。
• 存在非零连续平移不变线性泛函于 $D_p(\Gamma)/\mathbb{R}$ 当且仅当 $\bar{H}^{1}_{(p)}(\Gamma) \neq 0$，从而建立了上同调与泛函之间的对偶性。
• 对于非可约群，$D_p(\Gamma)/\mathbb{R}$ 上存在非零连续 TILF 并不意味着对所有 $p > 1$ 均成立，如双曲空间中的反例所示，此时 $\bar{H}^{1}_{(p)}(\Gamma) \neq 0$ 仅当 $p > n-1$。
• $p$-次调和边界在粗等距下保持不变，表明其作为粗几何不变量的鲁棒性。