[论文解读] Vanishing of the first reduced cohomology with values in an $L^p$-representation

Romain Tessera|ArXiv.org|Oct 31, 2006

Geometric and Algebraic Topology参考文献 17被引用 15

一句话总结

该论文证明了在一类广泛的可约群（包括连通可约李群和幂零群）上，取值于混合 $L^p$-表示的首阶约化上同调在 $1 < p < \infty$ 时恒为零。该结果证实了格罗莫夫关于有限生成可约群的首阶约化 $\ell^p$-上同调消失的猜想，并证明了庞苏关于齐性、在无穷远处闭合的黎曼流形上首阶约化 $L^p$-上同调消失的猜想。

ABSTRACT

We prove that the first reduced cohomology with values in a mixing Lp-representation, p larger than 1, vanishes for a class of amenable groups including connected amenable Lie groups. In particular this solves for this class of amenable groups a conjecture of Gromov saying that every finitely generated amenable group has no first reduced lp-cohomology. As a byproduct, we prove a conjecture by Pansu. Namely, the first reduced Lp-cohomology on homogeneous, closed at infinity, Riemannian manifolds vanishes. We also prove that a Gromov hyperbolic geodesic metric measure space with bounded geometry admitting a bi-Lipschitz embedded 3-regular tree has non-trivial first reduced Lp-cohomology for large enough p. Combining our results with those of Pansu, we characterize Gromov hyperbolic homogeneous manifolds: these are the ones having non-zero first reduced Lp-cohomology for some p larger than 1.

研究动机与目标

• 为解决格罗莫夫猜想：每个有限生成可约群在 $1 < p < \infty$ 时具有平凡的首阶约化 $\ell^p$-上同调。
• 证明庞苏猜想：齐性、在无穷远处闭合的黎曼流形上首阶约化 $L^p$-上同调消失。
• 通过某些 $1 < p < \infty$ 下首阶约化 $L^p$-上同调的非消失性，刻画格罗莫夫双曲齐性流形。
• 为可约群上的 $L^p$-表示建立一个关于拟等距不变量的弱形式的 $H_{FD}$ 性质。
• 分析几何结构（例如双利普希茨嵌入的树）与首阶约化 $L^p$-上同调非平凡性之间的关系。

提出的方法

• 使用混合 $L^p$-表示的概念——在 $L^p$-空间上的连续等距作用，具有强烈的混合性质。
• 应用受控法勒序列（性质 (CF)）来分析可约群及其上同调行为。
• 通过将定义在 3-正则树边界上的利普希茨函数延拓，构造 $\overline{H}_p^1(X)$ 中的一个非平凡余胞。
• 利用拟测地线射线与边界识别，在度量空间 $X$ 上定义一个函数 $f$，该函数对大 $p$ 属于 $D_p(X)$。
• 通过构造 $\tilde{X}$（在每个顶点处附着 $\mathbf{N}$）将一般情形约化为每一点与某基点出发的测地线射线距离有界的模型空间。
• 通过与 1-骨架中的循环耦合，证明当函数在双利普希茨嵌入的树上非常数时，上同调类非平凡。

实验结果

研究问题

• RQ1 格罗莫夫猜想：首阶约化 $L^p$-上同调是否对所有有限生成可约群都消失，如其猜想所述？
• RQ2 庞苏猜想：首阶约化 $L^p$-上同调是否在齐性、在无穷远处闭合的黎曼流形上消失，如其猜想所述？
• RQ3 双利普希茨嵌入的 3-正则树的存在性与首阶约化 $L^p$-上同调非消失性之间有何关系？
• RQ4 首阶约化 $L^p$-上同调的消失性能否用于刻画格罗莫夫双曲齐性流形？
• RQ5 是否存在关于可约群上 $L^p$-表示的拟等距不变量推广的 $H_{FD}$ 性质？

主要发现

• 对所有连通可约李群和幂零群，取值于任意强混合 $L^p$-表示的首阶约化上同调在 $1 < p < \infty$ 时恒为零。
• 该结果证实了格罗莫夫猜想：每个有限生成可约群在 $1 < p < \infty$ 时具有平凡的首阶约化 $\ell^p$-上同调。
• 所有齐性、在无穷远处闭合的黎曼流形上首阶约化 $L^p$-上同调均消失，从而证明了庞苏猜想。
• 具有有界几何的格罗莫夫双曲测地度量测度空间，若包含双利普希茨嵌入的 3-正则树，则对充分大的 $p$，其首阶约化 $L^p$-上同调非平凡。
• 连通李群在某些 $1 < p < \infty$ 时具有非零首阶约化 $L^p$-上同调，当且仅当其为格罗莫夫双曲空间。
• 结合主要结果与庞苏的工作，可将格罗莫夫双曲齐性流形刻画为：在某些 $1 < p < \infty$ 时首阶约化 $L^p$-上同调非零的流形。