[论文解读] Green's relations on the deformed transformation semigroups

Galyna Tsyaputa|ArXiv.org|Aug 21, 2005

semigroups and automata theory参考文献 4被引用 8

一句话总结

本文刻画了在变形有限反称对称半群 (ISₙ, *ₐ) 和变形有限对称半群 (Tₙ, *ₐ) 中的格林关系（L, R, H, D），其中乘法通过一个固定元素 a 进行扭曲。研究证明了 (ISₙ, *ₐ) 是自对偶的，并基于相对于 a 的定义域与值域包含关系，推导出 L-类与 R-类的显式条件，当 rank(a) = p > 1 时，给出了以斯特林数和二项式系数表示的类基数的精确公式。

ABSTRACT

Green's relations on the deformed finite inverse symmetric semigroup $\mathcal{IS}_n$ and the deformed finite symmetric semigroup $\mathcal{T}_n$ are described.

研究动机与目标

• 刻画变形有限反称对称半群 (ISₙ, *ₐ) 和变形有限对称半群 (Tₙ, *ₐ) 中的格林关系（L, R, H, D）。
• 基于变形元素 a 的定义域与值域包含关系，确定 (ISₙ, *ₐ) 中 L-类与 R-类的结构。
• 当 rank(a) = p > 1 时，推导出 (Tₙ, *ₐ) 中多元素 L-类与 R-类的数量与大小的显式公式。
• 证明 (ISₙ, *ₐ) 在变形乘法 *ₐ 下是自对偶的。
• 通过秩不变性对变形半群 (ISₙ, *ₐ) 的同构类型进行分类，扩展了先前的分类结果。

提出的方法

• 使用变形乘法 x *ₐ y = x a y，在 ISₙ 和 Tₙ 上定义新的半群运算。
• 应用标准格林关系理论：通过单边与双边理想定义 L（左）、R（右）、H（希尔）、D（双重）与 J（宝物）关系。
• 采用定义域（dom）与值域（ran）包含关系：x ∈ Rₐ 当且仅当 dom(x) = dom(a) 且 ran(x) ⊆ dom(a)；x ∈ Lₐ 当且仅当 ran(x) = ran(a) 且 dom(x) ⊆ ran(a)。
• 通过证明映射 x ↦ x⁻¹ 构成同构，利用 (ISₙ, *ₐ) 的自对偶性。
• 运用组合工具：第一类与第二类斯特林数 S(n,m)、二项式系数及阶乘项，以计算类的大小。
• 应用容斥原理，通过从总半群大小 nⁿ 中减去多元素类计数，计算单元素 L-类与 R-类的数量。

实验结果

研究问题

• RQ1 在变形反称对称半群 (ISₙ, *ₐ) 中，两个元素属于同一 L-类的条件是什么？
• RQ2 在 (ISₙ, *ₐ) 中，R-类如何依赖于变形元素 a 的定义域与值域？
• RQ3 当 rank(a) = p > 1 时，(Tₙ, *ₐ) 中多元素 L-类的基数是多少？
• RQ4 (ISₙ, *ₐ) 的自对偶性如何与格林关系的结构相关联？
• RQ5 在 (Tₙ, *ₐ) 中，单元素与多元素 L-类与 R-类的确切数量如何根据 a 的秩及其原像大小来表示？

主要发现

• 半群 (ISₙ, *ₐ) 是自对偶的，即在映射 x ↦ x⁻¹ 下同构于其对偶半群。
• 在 (ISₙ, *ₐ) 中，元素 x 属于多元素 R-类当且仅当 ran(x) ⊆ dom(a)，且该 R-类为所有满足 dom(y) = dom(x) 且 ran(y) ⊆ dom(a) 的 y 的集合。
• 在 (Tₙ, *ₐ) 中，多元素 L-类的数量为 ∑ₘ₌₁ᵖ (ⁿₘ)，且当 rank(a) = p 时，每个此类类的大小为 S(p,m) ∑ⱼ₌₁ᵐ S(n−p,j) (ᵐⱼ) j!。
• 在 (Tₙ, *ₐ) 中，单元素 L-类的数量为 nⁿ − ∑ₘ₌₁ᵖ (ⁿₘ) S(p,m) ∑ⱼ₌₁ᵐ S(n−p,j) (ᵐⱼ) j!。
• 在 (Tₙ, *ₐ) 中，多元素 R-类的数量为 ∑ₘ₌₁ᵖ S(n,m)，且每个类的大小为 ∑₁≤i₁<⋯<iₘ≤p n(aᵢ₁)⋯n(aᵢₘ) m!。
• 在 (Tₙ, *ₐ) 中，单元素 R-类的数量为 nⁿ − ∑ₘ₌₁ᵖ S(n,m) ∑₁≤i₁<⋯<iₘ≤p n(aᵢ₁)⋯n(aᵢₘ) m!。