[论文解读] Gromov--Hausdorff Distance, Irreducible Correspondences, Steiner Problem, and Minimal Fillings

Alexander Ivanov, Alexey Avgustinovich Tuzhilin|arXiv (Cornell University)|Apr 20, 2016

Geometric and Algebraic Topology参考文献 6被引用 8

一句话总结

本文引入不可约对应关系，以高效计算有限度量空间之间的Gromov–Hausdorff距离，证明了三点度量空间可等距嵌入ℝ³∞中的多面体锥。研究发现，Gromov–Hausdorff空间中的Steiner最小树可能超过其最小填充，从而得出该空间的Steiner子比小于0.857，与先前关于Steiner最小树与最小填充相等的猜想相矛盾。

ABSTRACT

We introduce irreducible correspondences that enables us to calculate the Gromov--Hausdorff distances effectively. By means of these correspondences, we show that the set of all metric spaces each consisting of no more than $3$ points is isometric to a polyhedral cone in the space $R^3$ endowed with the maximum norm. We prove that for any $3$-point metric space such that all the triangle inequalities are strict in it, there exists a neighborhood such that the Steiner minimal trees (in Gromov-Hausdorff space) with boundaries from this neighborhood are minimal fillings, i.e., it is impossible to decrease the lengths of these trees by isometrically embedding their boundaries into any other ambient metric space. On the other hand, we construct an example of $3$-point boundary whose points are $3$-point metric spaces such that its Steiner minimal tree in the Gromov-Hausdorff space is not a minimal filling. The latter proves that the Steiner subratio of the Gromov-Hausdorff space is less than 1. The irreducible correspondences enabled us to create a quick algorithm for calculating the Gromov-Hausdorff distance between finite metric spaces. We carried out a numerical experiment and obtained more precise upper estimate on the Steiner subratio: we have shown that it is less than $0.857$.

研究动机与目标

• 开发一种有效计算有限度量空间之间Gromov–Hausdorff距离的方法。
• 研究Gromov–Hausdorff空间中的Steiner最小树是否与其边界最小填充一致。
• 确定Gromov–Hausdorff空间Steiner子比的确切值或紧上界。
• 解决关于紧致度量空间中Steiner最小树始终为最小填充的猜想。

提出的方法

• 引入不可约对应关系的概念，以简化并加速Gromov–Hausdorff距离的计算。
• 利用不可约对应关系证明三点度量空间的集合在最大范数下等距同构于ℝ³∞中的多面体锥。
• 通过构造三个三点度量空间的反例，表明其在Gromov–Hausdorff空间中的Steiner最小树并非最小填充。
• 应用基于畸变的对应方法，通过有限度量空间之间的最优对应关系计算Gromov–Hausdorff距离。
• 通过数值实验进一步收紧Gromov–Hausdorff空间Steiner子比的上界。
• 利用三点空间最小填充的半周长公式，与Steiner最小树长度进行比较。

实验结果

研究问题

• RQ1 不可约对应关系是否能比现有方法更高效地计算Gromov–Hausdorff距离？
• RQ2 Gromov–Hausdorff空间中的Steiner最小树是否始终等于其边界的最小填充？
• RQ3 Gromov–Hausdorff空间的Steiner子比的确切值或紧上界是什么？
• RQ4 三点度量空间与ℝ³∞中多面体锥之间的等距同构是否意味着在此设定下Steiner最小树与最小填充一致？

主要发现

• 所有三点度量空间的集合在最大范数下等距同构于ℝ³∞中的多面体锥。
• 对于所有三角不等式严格成立的三点度量空间，其在Gromov–Hausdorff空间中的Steiner最小树在其邻域内是其最小填充。
• 构造了一个反例，表明在Gromov–Hausdorff空间中，某三点边界对应的Steiner最小树严格长于其最小填充。
• Gromov–Hausdorff空间的Steiner子比严格小于1，数值实验进一步将其上界收紧至小于0.857。
• 此类反例的存在推翻了Steiner最小树在Gromov–Hausdorff空间中始终等于最小填充的猜想。
• 不可约对应关系的方法使得计算有限度量空间之间Gromov–Hausdorff距离的快速算法成为可能。