[论文解读] Gromov-Witten theory of banded gerbes over schemes

Elena Andreini, Yunfeng Jiang+1 more|arXiv (Cornell University)|Jan 31, 2011

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 27被引用 17

一句话总结

本文为光滑射影代数簇上 $G$-带丛 gerbes 的亏格 $g$ 带丛 Gromov-Witten 不变量建立了精确公式，表明这些不变量可分解为基空间 $X$ 的不变量的加权和，权重由有限交换群 $G$ 的特征标决定。该结果在高亏格情形证实了分解猜想，通过使用平展分解与障碍理论比较，推广了此前在亏格 0 情形的结果，基于虚拟基本类的上推公式。

ABSTRACT

Let $X$ be a smooth complex projective algebraic variety. Let $\mathcal{G}$ be a $G$-banded gerbe with $G$ a finite abelian group. We prove an exact formula expressing genus $g$ orbifold Gromov-Witten invariants of $\mathcal{G}$ in terms of those of $X$.

研究动机与目标

• 将带丛 gerbes 的 Gromov-Witten 不变量在亏格 0 的分解结果推广至任意亏格 $g$。
• 建立 $G$-带丛 gerbe $\mathcal{G}$ 的带丛 Gromov-Witten 不变量与基空间 $X$ 的不变量之间的精确公式。
• 证明 $\mathcal{G}$ 的 Gromov-Witten 理论可分解为 $G$ 的不可约表示之和，从而在高亏格情形证实物理分解猜想。
• 发展一个比较 gerbes 上扭曲稳定映射模空间与基空间上模空间的虚拟基本类的一般框架。

提出的方法

• 将自然态射 $p: \mathcal{K}_{g,n}(\mathcal{G}, \beta) \to \overline{M}_{g,n}(X, \beta)$ 分解为 $\mathcal{K}_{g,n}(\mathcal{G}, \beta) \to P_{g,n} \to \overline{M}_{g,n}(X, \beta)$，其中 $P_{g,n}$ 是涉及扭曲曲线的纤维积的一个开子堆栈。
• 证明映射 $\mathcal{K}_{g,n}(\mathcal{G}, \beta) \to P_{g,n}$ 是平展的，从而可比较障碍理论。
• 利用障碍理论比较，证明虚拟基本类从 $\mathcal{K}_{g,n}(\mathcal{G}, \beta)$ 到 $\overline{M}_{g,n}(X, \beta)$ 的上推公式。
• 将上推结果应用于下拉势函数，将 $\mathcal{G}$ 的亏格 $g$ 势函数表示为 $G$ 的特征标之和，其中使用了扭曲的 Novikov 变量。
• 利用特征标正交性与有限群表示论，将该和解释为 $|\widehat{G}|$ 个 $X$ 的理论副本的加权和，权重由特征标决定。
• 利用相对粗模空间构造，关联堆栈之间的态射，并通过域扩张与几何纤维计算次数。

实验结果

研究问题

• RQ1 亏格 $g$ 的 $G$-带丛 gerbe $\mathcal{G}$ 在光滑射影代数簇 $X$ 上的带丛 Gromov-Witten 不变量如何与 $X$ 的不变量相关？
• RQ2 是否可将分解猜想——即 $\mathcal{G}$ 的 Gromov-Witten 理论可分解为 $|\widehat{G}|$ 个 $X$ 的理论副本——从亏格 0 推广至高亏格？
• RQ3 从 $\mathcal{K}_{g,n}(\mathcal{G}, \beta)$ 到 $\overline{M}_{g,n}(X, \beta)$ 的虚拟基本类上推的精确公式是什么？
• RQ4 扭曲曲线与扭曲稳定映射的堆栈如何促进高亏格情形下障碍理论的比较？
• RQ5 群 $G$ 的特征标在加权 $X$ 的不变量对 $\mathcal{G}$ 的不变量的贡献中起什么作用？

主要发现

• 带丛 gerbe $\mathcal{G}$ 的亏格 $g$ 下拉势函数为 $\mathcal{F}^{g}_{\mathcal{G}}(\{t_{i\rho,j}\}) = r^{2g-2} \sum_{[\rho] \in \widehat{G}} \mathcal{F}^{g}_{X}(\{t_{i\rho,j}\}; Q_\rho)$，其中 $Q_\rho^\beta = Q^\beta \chi_\rho(\exp(-2\pi i (\alpha \cap \beta)/r))$。
• 虚拟基本类的上推 $p_*[\mathcal{K}_{g,n}(\mathcal{G}, \beta)]^{vir}$ 与 $[\overline{M}_{g,n}(X, \beta)]^{vir}$ 成正比，比例因子为 $r^{2g-2}$，反映了群阶与亏格的依赖关系。
• 映射 $\mathcal{K}_{g,n}(\mathcal{G}, \beta) \to P_{g,n}$ 是平展的，这对比较障碍理论及确保上推公式成立至关重要。
• $\mathcal{G}$ 的 Gromov-Witten 理论可分解为 $|\widehat{G}|$ 个 $X$ 的理论副本的结论在所有 $g \geq 0$ 情形下得到证实，推广了文献 [8] 中的亏格 0 结果。
• 该公式表明 $\mathcal{G}$ 的不变量是 $X$ 的不变量的特征标扭加和，扭变由配对 $\alpha \cap \beta$ 与特征标 $\chi_\rho$ 决定，反映了 gerbe 的带丛结构。
• 该结果对任意有限交换群 $G$ 成立，其中主要情形为循环群 $G = \mu_r$，而一般 $G$ 仅需调整记号。