[论文解读] Groups acting on manifolds: around the Zimmer program

David Fisher|ArXiv.org|Sep 28, 2008

Geometric and Algebraic Topology参考文献 132被引用 58

一句话总结

这篇综述论文全面回顾了齐默尔纲领（Zimmer program），该纲领研究大群——特别是高余维半单李群及其格——在紧致流形上的作用。论文综合了已知结果，突出关键猜想，并概述了刚性、上循环超刚性、几何结构和动力系统方面的开放问题，重点关注体积保持作用与光滑作用。

ABSTRACT

This paper is a survey on the {\em Zimmer program}. In it's broadest form, this program seeks an understanding of actions of large groups on compact manifolds. The goals of this survey are $(1)$ to put in context the original questions and conjectures of Zimmer and Gromov that motivated the program, $(2)$ to indicate the current state of the art on as many of these conjectures and questions as possible and $(3)$ to indicate a wide variety of open problems and directions of research.

研究动机与目标

• 将齐默尔和格罗莫夫最初提出纲领的动机与猜想置于背景中。
• 总结齐默尔纲领中各项猜想与问题的当前研究状态，特别是高余维格在紧致流形上的作用。
• 识别并呈现流形上群作用领域中一系列开放问题与新研究方向，包括刚性、正则性与结构约束。
• 探讨动力系统、几何结构与表示理论在微分同胚群背景下的关联。
• 考察体积形式、不变度量以及具有 (T) 性质或超刚性作用等不变量的作用。

提出的方法

• 综述刚性理论中的基础结果，包括马尔格里斯超刚性、(T) 性质以及上循环超刚性定理。
• 通过调和映射技术与有限类型几何结构分析作用，尤其关注基本群表示的背景。
• 应用双曲动力系统与稳定性理论，研究环面上的一致双曲作用及相关刚性现象。
• 使用拓扑与动力方法研究微分同胚群中的正则性与有限指数子群。
• 通过斯达克与内沃-齐默尔的工作，从不变测度与体积保持作用的视角考察其作用。
• 研究经典群论定理（如乔丹定理、伯恩赛德问题与蒂茨选择性）在流形微分同胚群中的类比。

实验结果

研究问题

• RQ1 是否可以证明任意紧致流形微分同胚群的有限子群必包含一个指数有界的阿贝尔子群，且该界与群本身无关？
• RQ2 在紧致流形上是否存在无限且有限生成的周期性微分同胚群，特别是指数有界的？
• RQ3 每个紧致流形微分同胚群的有限生成子群是否要么包含两个生成元的自由群，要么保持一个博雷尔测度？
• RQ4 在紧致流形 Diff(M) 的有限生成子群中，指数增长在何种条件下蕴含一致指数增长？
• RQ5 经典线性群性质（如剩余有限性或一致指数增长）在微分同胚群子群中能在多大程度上推广？

主要发现

• 通过特尔斯顿利用艾普斯坦与赫尔曼的早期工作，证明了紧致流形微分同胚群的连通分支是单群。
• 齐默尔的上循环超刚性定理对高余维格在流形上的作用施加了强约束，尤其在体积保持情形下。
• 斯塔克的例子表明，若无不变体积形式，则格在流形上的作用不可能存在刚性。
• 在圆周上，马尔格里斯定理证实了盖斯的猜想：任何 $ \mathrm{Diff}^\infty(S^1) $ 的有限生成子群要么包含两个生成元的自由群，要么保持一个博雷尔测度。
• 汤普森群在球面上的作用以及 $ \mathrm{Diff}(S^2) $ 中高度扭曲子群的存在，表明微分同胚群可包含非典型的、非线性的子群。
• 蒙德特·伊·里拉的近期工作为在不依赖有限单群分类的前提下，微分同胚群设定下乔丹定理的正解提供了证据。