[论文解读] H-Harmonic Maass-Jacobi Forms of Degree 1: The Analytic Theory of Some Indefinite Theta Series

Martin Raum|arXiv (Cornell University)|Jul 24, 2012

Advanced Algebra and Geometry参考文献 14被引用 4

一句话总结

本文引入了签名为 (r+s,s) 的格的1阶 H-调和 Maass-Jacobi 形式，将 Zwegers 的 µ-函数推广至‘乘积型’的不定二次型级数。该文建立了这些形式的分解，解释了双变量 µ-函数分解为亚纯与单变量实解析部分的机制，并表明在扭点上的限制可得到更高深度的调和弱 Maass 形式，从而在混合模形式的框架下统一了退化不定二次型级数的模形式完备化。

ABSTRACT

It was shown in previous work that the one-variable $\widehatμ$-function defined by Zwegers (and Zagier) and his indefinite theta series attached to lattices of signature $(r\!+\!1,1)$ are both Heisenberg harmonic Maaß-Jacobi forms. We extend the concept of Heisenberg harmonicity to Maaß-Jacobi forms of arbitrary many elliptic variables, and produce indefinite theta series of "product type" for non-degenerate lattices of signature $(r\!+\!s,s)$. We thus obtain a clean generalization of $\widehatμ$ to these negative definite lattices. From restrictions to torsion points of Heisenberg harmonic Maaß-Jacobi forms, we obtain harmonic weak Maaß forms of higher depth in the sense of Zagier and Zwegers. In particular, we explain the modular completion of some, so-called degenerate indefinite theta series in the context of higher depth mixed mock modular forms. The structure theory for Heisenberg harmonic Maaß-Jacobi forms developed in this paper also explains a curious splitting of Zwegers's two-variable $\widehatμ$-function into the sum of a meromorphic Jacobi form and a one-variable Maaß-Jacobi form.

研究动机与目标

• 将海森堡调和性的概念从单个椭圆变量推广至具有多个椭圆变量的 Maass-Jacobi 形式。
• 为签名 (r+s,s) 的非退化格构造‘乘积型’的不定二次型级数，推广 µ-函数。
• 通过更高深度混合模形式的视角，解释退化不定二次型级数的模形式完备化。
• 为 Zwegers 双变量 µ-函数的奇特分解（分解为亚纯 Jacobi 形式与单变量实解析形式）提供表示论解释。

提出的方法

• 将 H-调和 Maass-Jacobi 形式定义为关于扩展 Jacobi 群的 Casimir 算子的特征函数，从单变量推广至多变量椭圆变量。
• 利用广义 µ-函数作为基本构建块，为签名 (r+s,s) 的格构造乘积型不定二次型级数。
• 应用 ξJH[B] 算子，将 H-调和 Maass-Jacobi 形式与向量值亚纯 Jacobi 形式联系起来。
• 通过 H-调和类型 B 的归纳法，将 H-调和形式分解为 H-调和性更弱的分量。
• 将 H-调和 Maass-Jacobi 形式限制在扭点上，得到更高深度的调和弱 Maass 形式。
• 通过迭代 ξ-算子与增长条件定义更高深度的调和弱 Maass 形式，从而支持退化二次型级数的模形式完备化研究。

实验结果

研究问题

• RQ1 在 Maass-Jacobi 形式中，海森堡调和性概念如何从单个椭圆变量推广至多个椭圆变量？
• RQ2 签名为 (r+s,s) 的格的不定二次型级数的解析结构是什么？它们与广义 µ-函数有何关系？
• RQ3 为何 Zwegers 的双变量 µ-函数会分解为亚纯 Jacobi 形式与单变量实解析 Maass-Jacobi 形式？这一现象能否被系统性地解释？
• RQ4 H-调和 Maass-Jacobi 形式在扭点上的限制如何产生更高深度的调和弱 Maass 形式？
• RQ5 退化不定二次型级数的模形式完备化能否在更高深度混合模形式的框架下得到理解？

主要发现

• 本文为签名 (r+s,s) 的格构造了 H-调和 Maass-Jacobi 形式，将 µ-函数推广至负定类型的不定格。
• 通过 H-调和形式的分解，自然解释了双变量 µ-函数分解为亚纯 Jacobi 形式与单变量实解析 Maass-Jacobi 形式的机制。
• 将 H-调和 Maass-Jacobi 形式限制在扭点上，可得到深度为 #B 的调和弱 Maass 形式，其中 B 为 H-调和性类型。
• H-调和 Maass-Jacobi 形式的结构理论解释了退化不定二次型级数的模形式完备化，使其成为更高深度混合模形式框架的一部分。
• 通过 ξJH[B] 算子对 H-调和形式的分解，可实现对更简单 H-调和性类型的归纳约化，从而建立清晰的结构理论。
• 本文证明，增长条件 f(iy) = O(e^{ay})（当 y → ∞ 时）对更高深度的调和弱 Maass 形式已足够，使其适用于算术应用。