[论文解读] Hamilton's equations in a non-associative quantum theory

Vladimir Dzhunushaliev|ArXiv.org|Feb 5, 2006

Noncommutative and Quantum Gravity Theories参考文献 17被引用 3

一句话总结

本文提出了一种强相互作用场的非结合量子代数，引入了三元和四元算符乘积的新量子$(\pm)$结合子。它将哈密顿方程推广至非结合框架，并论证此类结构可能构成物理学基本统一理论的基础，具有自洽的结合子和与先前工作不同的新颖代数关系。

ABSTRACT

A new non-associative algebra for the quantization of strongly interacting fields is proposed. The full set of quantum $(\pm)$associators for the product of three operators is offered. An algorithm for the calculation of some $(\pm)$associators for the product of some four operators is offered. The possible generalization of Hamilton's equations for a non-associative quantum theory is proposed. Some arguments are given that a non-associative quantum theory can be a fundamental unifying theory.

研究动机与目标

• 开发一种非结合代数框架，用于对标准对易关系失效的强相互作用量子场进行量化。
• 定义并计算三元和四元算符乘积的量子$(\pm)$结合子，确保自洽性和代数封闭性。
• 将哈密顿方程推广至非结合量子力学，将经典动力学扩展至非结合代数。
• 探讨非结合量子理论是否可作为理论物理学中基本统一理论的基础。
• 通过施加$\{q_i, Q_i\}_+ = 0$而非$\{q_i, Q_i\}_+ = 1$，将此代数与先前的非结合模型区分开来。

提出的方法

• 通过$\{a,b,c\}_{\pm} = (ab)c \pm a(bc)$引入量子$(\pm)$结合子，为$(-)$定义结合子，为$(+)$定义反结合子。
• 将结合子形式化应用于作为分裂八元数非结合推广的算符$q_i, Q_i$。
• 利用列维-奇维塔符号$\epsilon_{mnp}$和新算符$\mathcal{H}_{3,i}$，推导三元算符乘积的特定结合子。
• 为具有重复指标的情况（如$q_m(Q_n q_n)$）定义反结合子，并为$m \neq n$的混合$qQ$-乘积定义结合子。
• 施加灵活性条件$\{a,b,c\}_{\pm} = -\{c,b,a\}_{\pm}$以确保代数一致性。
• 通过交换图和交错性性质（如$\{q_n, q_n, Q_m\}_- = 0$）检查自洽性。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否为标准对易规则失效的强相互作用量子场构建一个一致的非结合代数？
• RQ2 在非结合量子框架中，哈密顿方程如何推广？
• RQ3 所提出的$(\pm)$结合子的代数性质（如灵活性、交错性）是什么？
• RQ4 这些新结合子与先前工作中的结合子有何不同，特别是在$\{q_i, Q_i\}_+$的处理上？
• RQ5 此非结合结构能否作为基本相互作用统一量子理论的基础？

主要发现

• 该代数结构定义为$\{q_i, Q_i\}_+ = 0$，与先前模型中$\{q_i, Q_i\}_+ = 1$不同。
• 结合子如$\{Q_m, Q_n, Q_p\}_+ = \epsilon_{mnp}\mathcal{H}_{3,1}$和$\{q_m, Q_n, q_p\}_+ = \epsilon_{mnp}\mathcal{H}_{3,2}$非零，且可用反对称张量表示。
• 结合子$\{q_m, q_n, q_p\}_- = 0$确认$q_i$-子代数是结合的，类似于四元数结构。
• 反结合子如$\{q_m, Q_n, q_n\}_+ = \mathcal{H}_{3,8}(m,n)$为重复指标定义，其中算符$\mathcal{H}_{3,i}(m,n)$保持未确定。
• 交错性条件$\{q_n, q_n, Q_m\}_- = 0$、$\{q_n, Q_m, q_n\}_- = 0$和$\{Q_m, q_n, q_n\}_- = 0$均满足，支持代数一致性。
• 通过递归算法提出了四元算符的完整$(\pm)$结合子集合，尽管未完全计算出显式形式。