[论文解读] The exceptional Jordan algebra and the matrix string

Lee Smolin|ArXiv.org|Apr 5, 2001

Noncommutative and Quantum Gravity Theories参考文献 12被引用 30

一句话总结

本文提出了一种基于例外约当代数 $ J^3_{\mathcal{O}} $ 的背景无关矩阵模型，其27个矩阵自由度编码了弦理论中的玻色子和费米子激发。在二维紧化后，该模型重现了具有 $ G_2 $ 破缺 $ SO(8) $ 对称性的矩阵弦理论作用量，表明通过三重性与三重相互作用，M理论、环量子引力与八元数几何得以统一。

ABSTRACT

A new matrix model is described, based on the exceptional Jordan algebra. The action is cubic, as in matrix Chern-Simons theory. We describe a compactification that, we argue, reproduces, at the one loop level, an octonionic compactification of the matrix string theory in which SO(8) is broken to G2. There are 27 matrix degrees of freedom, which under Spin(8) transform as the vector, spinor and conjugate spinor, plus three singlets, which represent the two longitudinal coordinates plus an eleventh coordinate. Supersymmetry appears to be related to triality of the representations of Spin(8).

研究动机与目标

• 将背景无关的量子引力（通过环量子引力）与背景依赖的弦理论统一于单一框架之中。
• 识别一种独特的数学结构——具体而言是例外约当代数 $ J^3_{\mathcal{O}} $ ——作为M理论的基础。
• 通过八元数代数结构解释弦理论中额外维度与高阶超对称性的起源。
• 探讨 $ Spin(8) $ 中的超对称性与三重性是否可自然地从模型的代数结构中涌现。
• 研究该模型的紧化是否能产生类似于形变环量子引力的量子引力对偶表述。

提出的方法

• 该模型被表述为基于例外约当代数 $ J^3_{\mathcal{O}} $ 的三重矩阵陈-西蒙斯理论，其作用量完全基于代数，不显式依赖度量或流形。
• 27个矩阵自由度在 $ Spin(8) $ 下变换为向量、旋量与共轭旋量表示，外加三个标量，分别对应纵向自由度与第十一维。
• 应用三环面紧化，将 $ 0 $-方向紧缩至普朗克尺度，通过舍弃 $ \partial_0 $ 与 $ a_{0P}^Q $ 项，得到二维有效作用量。
• 所得有效作用量与矩阵弦理论作用量一致，其中 $ SO(8) $ 对称性被破缺为 $ G_2 $，且包含 $ V_{\vec{a}} $ 矩阵之间的三重与四重相互作用。
• 利用 $ Spin(8) $ 的三重性将场表示为 $ V_{\vec{a}} $、$ S_\alpha $ 与 $ \bar{S}_{\bar{\alpha}} $，作用量以这些分量形式书写。
• 该模型的结构表明，超对称性可能源于 $ F_4 $ 代数的旋量生成元作用于约当代数分量。

实验结果

研究问题

• RQ1 例外约当代数 $ J^3_{\mathcal{O}} $ 是否能为M理论提供唯一且背景无关的框架？
• RQ2 在紧化模型中，$ SO(8) $ 对称性破缺为 $ G_2 $ 是否能重现已知的矩阵弦理论作用量？
• RQ3 在 $ G_2 $ 破缺下超对称性是否被保留？若保留，其与三重性及 $ F_4 $ 代数有何关联？
• RQ4 能否将 $ J^3_{\mathcal{O}} $ 的27个自由度与近期玻色子M理论模型中提出的27维对应起来？
• RQ5 是否存在能产生与矩阵弦理论对偶的背景无关相的紧化形式，可能以形变环量子引力的形式实现？

主要发现

• 从紧化模型导出的有效二维作用量与已知的矩阵弦理论作用量一致，且 $ SO(8) $ 对称性被破缺为 $ G_2 $。
• 模型中 $ V_{\vec{a}} $ 矩阵之间的三重与四重相互作用项反映了原始 $ SO(8) $ 对称性被 $ G_2 $ 破缺的特征。
• 27个矩阵自由度对应于 $ Spin(8) $ 的向量、旋量与共轭旋量表示，外加三个标量，分别代表两个纵向自由度与一个第十一维。
• 超对称性可能在紧化模型中被保留，且可能源自 $ F_4 $ 代数的旋量生成元作用于约当代数分量。
• 该模型暗示了矩阵弦理论与一种背景无关的量子引力表述之间可能存在对偶性，可能通过量子形变的环量子引力实现。
• 例外约当代数的代数结构自然编码了弦理论的自由度，表明八元数几何与M理论之间存在深刻联系。