[论文解读] Hamiltonian surgery: Cheeger-type gap inequalities for nonpositive (stoquastic), real, and Hermitian matrices

Michael Jarret|arXiv (Cornell University)|Apr 18, 2018

Matrix Theory and Algorithms参考文献 3被引用 6

一句话总结

该论文通过将哈密顿量分解为 $ H = L + W $ 的形式，其中 $ L $ 为图拉普拉斯矩阵，$ W $ 为微扰项，建立了非正（stoquastic）、实数及厄米矩阵的类切赫不等式。推导了谱隙 $ \gamma $ 关于加权切赫常数 $ h $ 的界，证明了当 $ W $ 为对角矩阵时，有 $ 2h \geq \gamma \geq \sqrt{h^2 + d_{\text{max}}^2} - d_{\text{max}} $，并提出通过谱反馈实现自适应量子绝热算法的路径。

ABSTRACT

Cheeger inequalities bound the spectral gap $γ$ of a space by isoperimetric properties of that space and vice versa. In this paper, I derive Cheeger-type inequalities for nonpositive matrices (aka stoquastic Hamiltonians), real matrices, and Hermitian matrices. For matrices written $H = L+W$, where $L$ is either a combinatorial or normalized graph Laplacian, I show that: (1) when $W$ is diagonal and $L$ has maximum degree $d_{\max}$, $2h \geq γ\geq \sqrt{h^2 + d_{\max}^2}-d_\max$; (2) when $W$ is real, we can often route negative-weighted edges along positive-weighted edges such that the Cheeger constant of the resulting graph obeys an inequality similar to that above; and (3) when $W$ is Hermitian, the weighted Cheeger constant obeys $2h \geq γ$ here $h$ is the weighted Cheeger constant of $H$. This constant reduces bounds on $γ$ to information contained in the underlying graph and the Hamiltonian's ground-state. If efficiently computable, the constant opens up a very clear path towards adaptive quantum adiabatic algorithms, those that adjust the adiabatic path based on spectral structure. I sketch a bashful adiabatic algorithm that aborts the adiabatic process early, uses the resulting state to approximate the weighted Cheeger constant, and restarts the process using the updated information. Should this approach work, it would provide more rigorous foundations for adiabatic quantum computing without extit{a priori} knowledge of the spectral gap.

研究动机与目标

• 正式建立厄米矩阵 $ H $ 的谱隙 $ \gamma $ 与基态 $ \phi_0 $ 几何性质之间的关系，特别是通过等周常数。
• 通过分解 $ H = L + W $（其中 $ L $ 为图拉普拉斯矩阵）将经典切赫不等式推广至非正（stoquastic）、实数及一般厄米矩阵。
• 引入一个加权切赫常数 $ h $，以捕捉 $ \phi_0 $ 的几何结构，从而实现更紧致的谱隙界。
• 探索通过在演化过程中估计 $ h $ 并相应调整路径，将 $ h $ 应用于自适应量子绝热算法的可行性。
• 利用图结构和 $ H $ 的基态，建立 $ \gamma $ 的严格下界，尤其在 $ W $ 为对角、实数或厄米矩阵的情况下。

提出的方法

• 将厄米矩阵 $ H $ 分解为 $ H = L + W $，其中 $ L $ 为组合或归一化的图拉普拉斯矩阵，$ W $ 为微扰矩阵。
• 基于基态 $ \phi_0 $ 定义一个加权切赫常数 $ h $，该常数将经典切赫常数推广至非均匀分布情形。
• 利用变分原理和等周不等式推导谱隙 $ \gamma $ 的界，特别利用瑞利商及由基态导出的非负函数 $ g $。
• 当 $ W $ 为对角矩阵时，证明 $ 2h \geq \gamma \geq \sqrt{h^2 + d_{\text{max}}^2} - d_{\text{max}} $，其中 $ d_{\text{max}} $ 为 $ L $ 的最大度数。
• 当 $ W $ 为实数矩阵时，表明可通过将负权重边沿正权重边路由，保持类切赫不等式成立，前提是此类路由可行。
• 当 $ W $ 为一般厄米矩阵时，证明 $ 2h \geq \gamma $，其中 $ h $ 为 $ H $ 的加权切赫常数，从而将谱隙界简化为图结构与基态结构问题。

实验结果

研究问题

• RQ1 类切赫不等式能否推广至非正（stoquastic）矩阵，即非对角元为非正的矩阵？
• RQ2 对于具有混合符号非对角元的实数矩阵，特别是存在符号问题时，如何推导谱隙界？
• RQ3 谱隙 $ \gamma $ 与由加权切赫常数捕捉的基态 $ \phi_0 $ 几何结构之间存在何种关系？
• RQ4 加权切赫常数 $ h $ 能否被高效近似？若可，它如何支持自适应量子绝热算法的实现？
• RQ5 谱隙较小是否必然意味着基态分布存在瓶颈？在何种条件下可推出此结论？

主要发现

• 对于具有对角 $ W $ 的stoquastic哈密顿量，谱隙满足 $ \gamma \geq \sqrt{h^2 + d_{\text{max}}^2} - d_{\text{max}} $，其中 $ d_{\text{max}} $ 为底层图的最大度数。
• 当 $ W $ 为对角矩阵且 $ L $ 为图拉普拉斯矩阵时，不等式 $ 2h \geq \gamma \geq \sqrt{h^2 + d_{\text{max}}^2} - d_{\text{max}} $ 成立，将谱隙与图结构及基态几何联系起来。
• 当 $ W $ 为实数矩阵时，可通过将负权重边沿正权重边路由，导出修正的类切赫不等式，且在可行路由条件下保持等周界。
• 对于一般厄米 $ W $，不等式 $ 2h \geq \gamma $ 成立，其中 $ h $ 为 $ H $ 的加权切赫常数，从而将谱隙估计简化为图与基态数据问题。
• 论文提出，若 $ h $ 可被高效近似，则可实现一种“羞怯”型绝热算法：提前中止，估计 $ h $，并基于更新的路径信息重启，从而改善运行时间保证。
• 作者未解决谱隙较小时是否必然导致 $ \phi_0 $ 存在瓶颈的问题，但表明在stoquastic及部分实数情形下，该推论成立。