[论文解读] Height Estimates for Equidimensional Dominant Rational Maps

Joseph H. Silverman|arXiv (Cornell University)|Aug 26, 2009

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 10被引用 8

一句话总结

本文在 $\overline{\mathbb{Q}}$ 上建立了等维数主导有理映射在拟射影代数簇之间的高度下界，证明了在 Zariski 开子集上，此类映射下像的高度至少以线性方式随原像高度增长。关键贡献在于，对 $\mathbb{P}^n$ 上的主导自同态，给出了仅依赖于 $n$ 和度数 $d$ 的高度扩张系数 $\mu(\varphi)$ 的统一下界，并将其应用于半阿贝尔簇的特殊化定理。

ABSTRACT

Let F : W --> V be a dominant rational map between quasi-projective varieties of the same dimension. We give two proofs that h_V(F(P)) >> h_W(P) for all points P in a nonempty Zariski open subset of W. For dominant rational maps F : P^n --> P^n, we give a uniform estimate in which the implied constant depends only on n and the degree of F. As an application, we prove a specialization theorem for equidimensional dominant rational maps to semiabelian varieties, providing a complement to Habegger's recent theorem on unlikely intersections.

研究动机与目标

• 建立等维数代数簇之间主导有理映射下像高度的下界。
• 证明此类映射的高度扩张系数 $\mu(\varphi)$ 为正，确保在非空开集上，像的高度相对于原像高度增长。
• 为所有固定度数 $d$ 的 $\mathbb{P}^n$ 上的主导有理自同态提供统一的 $\mu(\varphi)$ 下界，该下界仅依赖于 $n$ 和 $d$，与具体映射无关。
• 将高度估计应用于证明一个特殊化定理：映射到半阿贝尔簇中扭点的点集具有有界高度。

提出的方法

• 使用涉及 nef 与 big 线丛的数值准则（Siu 定理）通过代数几何论证证明第一个结果。
• 提供第二种更初等的证明，仅依赖于高度函数的基本性质和三角不等式。
• 为有理映射 $\varphi: \mathbb{P}^n \dashrightarrow \mathbb{P}^n$ 引入高度函数 $h(\varphi)$，以量化该界对映射度数和维数的依赖关系。
• 将高度估计应用于具有 Néron–Tate 高度分解的 K3 曲面上的动力系统，以计算或估计 $\mu(\varphi)$。
• 利用 Néron–Tate 高度分解 $h_D = a\hat{h}^+ + b\hat{h}^-$ 分析 $h_D(\varphi^n(P))$ 的渐近行为，并推导 $\mu(\varphi^n)$ 的界限。
• 将主结果应用于证明：若 $\varphi: W \dashrightarrow G$ 是主导映射且 $\dim W = \dim G$，则映射到半阿贝尔簇 $G$ 中扭点的点集 $P \in W(\overline{\mathbb{Q}})$ 具有有界高度，这是由于扭点在 $G$ 中的高度有界。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否为等维数代数簇之间的主导有理映射 $\varphi: W \dashrightarrow V$ 建立 $\varphi(P)$ 高度相对于 $h_W(P)$ 的下界？
• RQ2 对于 $\mathbb{P}^n$ 上度数为 $d$ 的主导有理自同态，高度扩张系数 $\mu(\varphi)$ 是否存在仅依赖于 $n$ 和 $d$ 的正下界？
• RQ3 能否利用高度估计证明有理映射到半阿贝尔簇的特殊化定理，特别是关于扭点的情形？
• RQ4 精确值或紧致估计 $\overline{\mu}_d(\mathbb{P}^n)$ 是多少，即所有 $\mathbb{P}^n$ 上度数为 $d$ 的主导自同态的 $\mu(\varphi)$ 的下确界？
• RQ5 高度扩张系数在迭代下如何表现？对于高维代数簇的自同构，其是否可能指数衰减？

主要发现

• 对于任意定义在 $\overline{\mathbb{Q}}$ 上的等维数拟射影代数簇之间的主导有理映射 $\varphi: W \dashrightarrow V$，存在一个非空的 Zariski 开子集 $U \subset W$，使得对所有 $P \in U(\overline{\mathbb{Q}})$，有 $h_V(\varphi(P)) \geq C_1 h_W(P) - C_2$，其中 $C_1 > 0$。
• 对于 $\mathbb{P}^n$ 上度数为 $d$ 的主导有理自同态 $\varphi: \mathbb{P}^n \dashrightarrow \mathbb{P}^n$，高度扩张系数满足 $\mu(\varphi) \geq C_1 > 0$，其中 $C_1$ 仅依赖于 $n$ 和 $d$，且对所有此类映射一致。
• 所有 $\mathbb{P}^n$ 上度数为 $d$ 的主导自同态的 $\mu(\varphi)$ 的下确界 $\overline{\mu}_d(\mathbb{P}^n)$ 满足 $\overline{\mu}_d(\mathbb{P}^n) \leq d^{-(n-1)}$，对所有 $n \geq 2$ 和 $d \geq 2$ 成立，表明当 $d$ 增大时，该系数可任意小。
• 对于某些 K3 曲面的自同构，有 $\mu(\varphi^n) \leq (2 + \sqrt{3})^{-n}$，表明即使对于自同构，高度扩张系数也可能指数衰减。
• 若 $\varphi: W \dashrightarrow G$ 是主导映射且 $\dim W = \dim G$，则映射到半阿贝尔簇 $G$ 中扭点的点集 $P \in W(\overline{\mathbb{Q}})$ 具有有界高度，这是由于高度下界与扭点高度有界性共同作用的结果。