[论文解读] On the dynamical and arithmetic degrees of rational self-maps of algebraic varieties

Shu Kawaguchi, Joseph H. Silverman|arXiv (Cornell University)|Aug 3, 2012

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 24被引用 10

一句话总结

该论文建立了特征为零的全局域上光滑射影代数簇上理性自同态的动态度 δ_f 与算术度 α_f 之间的基本不等式。证明了迭代点的高度以至多指数速率 δ_f + ε 增长，从而对所有具有良定义轨道的点 P，有 α_f(P) ≤ δ_f。其主要贡献在于在 Néron-Severi 群上拉回作用的特定谱条件下，建立了统一的高度上界并证明了典范高度的存在性。

ABSTRACT

Let f : X --> X be a dominant rational map of a projective variety defined over a global field, let d_f be the dynamical degree of f, and let h_X be a Weil height on X relative to an ample divisor. We prove that h_X(f^n(P)) << (d_f + e)^n h_X(P), where the implied constant depends only on X, h_X, f, and e. As applications, we prove a fundamental inequality a_f(P) \le d_f for the upper arithmetic degree and we construct canonical heights for (nef) divisors. We conjecture that a_f(P) = d_f whenever the orbit of P is Zariski dense, and we describe some cases for which we can prove our conjecture.

研究动机与目标

• 在光滑射影代数簇上，对全局域上的有理自同态轨道，建立 Weil 高度增长的统一上界。
• 将几何动态度 δ_f 与算术度 α_f 相关联，后者定义为轨道上高度的指数增长速率。
• 在 f 作用于 Néron-Severi 群上的拉回作用满足特定谱条件时，证明典范高度 ĥ_{f,D} 的存在性与收敛性。
• 研究当 P 的 f-轨道在 X 中关于 Zarsiki 拓扑稠密时，是否恒有 α_f(P) = δ_f 的猜想。
• 在若干重要几何与算术情形下验证该猜想，包括 Néron-Severi 群维数为一的簇上的自同态、特定的单式映射与阿贝尔簇上的映射。

提出的方法

• 使用关于非常 ample 除子的 Weil 高度函数来度量代数簇上点的算术复杂度。
• 应用拉回作用 (f^n)* 在 Néron-Severi 群 NS(X)_R 上的谱半径估计，以定义动态度 δ_f。
• 建立统一高度上界：对所有具有良定义轨道的 P，有 h_X^+(f^n(P)) ≤ C(δ_f + ε)^n h_X^+(P)，其中 C 仅依赖于 X、h_X、f 和 ε。
• 引入并证明典范高度 ĥ_{f,D} = lim β^{-n} h_D ∘ f^n 的收敛性，条件为 f^*D ≡ βD 且 β > √δ_f。
• 使用代数几何工具，包括非常 ample 除子、正则函数及高度比较引理，以控制增长速率。
• 在特殊情形下运用 p-进方法与弱下典范高度，证明实现最大算术度的点的稠密性结果。

实验结果

研究问题

• RQ1 对所有具有良定义 f-轨道的点 P，算术度 α_f(P) 是否存在？
• RQ2 上算术度 α_f(P) 是否总是有上界 δ_f？
• RQ3 在何种条件下典范高度 ĥ_{f,D} 收敛？其函数性质为何？
• RQ4 在何种情况下 α_f(P) = δ_f 成立，特别是对具有 Zarsiki 稠密轨道的点？
• RQ5 在特定几何设定下，能否证明 α_f(P) = δ_f 对于 Zarsiki 稠密轨道的猜想？

主要发现

• 对任意 ε > 0，存在常数 C，使得对所有 P ∈ X_f(̄K)，有 h_X^+(f^n(P)) ≤ C(δ_f + ε)^n h_X^+(P)，从而在高度增长上建立了统一的指数上界。
• 对所有 P ∈ X_f(̄K)，上算术度满足 α_f(P) ≤ δ_f，证明了算术度与动态度之间的基本不等式。
• 若 f 为自同态且存在 β > √δ_f 使得 f^*D ≡ βD，则典范高度 ĥ_{f,D} = lim β^{-n} h_D ∘ f^n 收敛，且满足 ĥ_{f,D} ∘ f = β ĥ_{f,D} 以及 ĥ_{f,D} = h_D + O(√h_X)。
• 对具有 Zarsiki 稠密 f-轨道的点 P，猜想 α_f(P) = δ_f 在若干情形下已得证明：Néron-Severi 群实维数为 1 的簇上的自同态、(P^N, G_m^N) 上的单式映射、具有自同态的阿贝尔簇，以及某些平面映射。
• 对 A^2 上的主导正则仿射自同态或 P^2 上的二次映射，满足 α_f(P) = δ_f 的点集在 Zarsiki 拓扑下稠密，且其轨道两两不相交。
• 在所有映射代数稳定或为单式映射、或阿贝尔簇上自同态的情形下，动态度 δ_f 均为代数整数。