[论文解读] Higher level affine Schur and Hecke algebras

Ruslan Maksimau, Catharina Stroppel|arXiv (Cornell University)|May 7, 2018

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 20被引用 5

一句话总结

本文通过生成元与关系式引入了更高层次的仿射施瓦茨代数与赫克代数，建立了其与惠布雷德张量积代数及quiver施瓦茨代数的完成版本之间的同构关系，并证明了更高层次的仿射施瓦茨代数同态满射到环型 $q$-施瓦茨代数。其主要贡献在于为这些代数提供了图解化表述，从而解决了在更高层次上定义仿射 $q$-施瓦茨代数时长期存在的空白问题。

ABSTRACT

We define a higher level version of the affine Hecke algebra and prove that, after completion, this algebra is isomorphic to a completion of Webster's tensor product algebra of type A. We then introduce a higher level version of the affine Schur algebra and establish, again after completion, an isomorphism with the quiver Schur algebra. An important observation is that the higher level affine Schur algebra surjects to the Dipper-James-Mathas cyclotomic q-Schur algebra. Moreover, we give nice diagrammatic presentations for all the algebras introduced in this paper.

研究动机与目标

• 定义一个更高层次的仿射 $q$-施瓦茨代数，使其推广经典仿射 $q$-施瓦茨代数，并同态满射到环型 $q$-施瓦茨代数。
• 克服在仿射情形下标准自同态代数构造失败的问题，原因在于环型关系中多项式结构的丧失。
• 通过生成元与关系式，为更高层次的仿射赫克代数与施瓦瓦茨代数建立图解化表述。
• 证明完成后的更高层次仿射赫克代数同构于类型 A 的惠布雷德张量积代数的完成版本。
• 证明完成后的更高层次仿射施瓦茨代数同构于quiver施瓦茨代数，且环型商代数恢复了迪珀-詹姆斯-马萨斯的 $q$-施瓦茨代数。

提出的方法

• 通过生成元与关系式定义更高层次的仿射赫克代数 $\operatorname{H}_{d,\mathbf{Q}}(q)$，将其推广为标准仿射赫克代数在更高层次的情形。
• 通过 $\operatorname{H}_{d,\mathbf{Q}}(q)$ 上模的自同态代数构造更高层次的仿射施瓦茨代数 $\operatorname{S}_{d,\mathbf{Q}}(q)$，使用与 $\ell$-组合相关的元素 $m_\lambda$。
• 利用完成技术将代数与其完成版本关联，从而实现与完成张量积代数及quiver施瓦茨代数的同构关系。
• 建立完成后的更高层次仿射赫克代数与惠布雷德类型 A 完成张量积代数之间的同构关系。
• 通过中心幂等元截断与维数比较，证明完成后的更高层次仿射施瓦茨代数同构于完成后的quiver施瓦茨代数。
• 通过彩色辫带与关系式，为所有代数提供图解化表述，推广 KLR 代数的图解化方法至更高层次。

实验结果

研究问题

• RQ1 更高层次仿射 $q$-施瓦茨代数的正确定义是什么？该定义应推广经典仿射 $q$-施瓦茨代数，并允许存在忠实的多项式表示。
• RQ2 为何在仿射情形下，将标准自同态代数构造应用于环型赫克代数元素时会失败？
• RQ3 如何通过代数方式定义更高层次的仿射赫克代数，以确保施瓦茨代数构造的一致性？
• RQ4 更高层次仿射赫克代数与惠布雷德张量积代数之间是否存在完成同构？
• RQ5 更高层次仿射施瓦茨代数是否同态满射到迪珀-詹姆斯-马萨斯的环型 $q$-施瓦茨代数？如果是，这种满射是如何实现的？

主要发现

• 更高层次仿射赫克代数 $\operatorname{H}_{d,\mathbf{Q}}(q)$ 通过生成元与关系式定义，并同构于类型 A 的惠布雷德张量积代数的完成版本。
• 更高层次仿射施瓦茨代数 $\operatorname{S}_{d,\mathbf{Q}}(q)$ 在完成之后，同构于 quiver 施瓦茨代数 $A_{\nu,\mathbf{Q}}$ 的完成版本。
• 更高层次仿射施瓦茨代数的环型商代数 $\operatorname{S}_{d,\mathbf{Q}}^{\mathbf{Q}}(q)$ 同构于迪珀-詹姆斯-马萨斯的环型 $q$-施瓦茨代数。
• 代数 $\operatorname{S}_{d,\mathbf{Q}}^{\mathbf{Q}}(q)$ 同构于环型 quiver 施瓦茨代数 $A_{\nu,\mathbf{Q}}^{\mathbf{Q}}$，且两者维数相同。
• 通过中心幂等元截断与维数比较，建立了完成后的更高层次仿射施瓦茨代数与 quiver 施瓦茨代数之间的同构关系。
• 本文为所有代数提供了图解化表述，推广了 KLR 代数的图解化方法至更高层次。