[论文解读] Quiver Schur algebras and q-Fock space

Catharina Stroppel, Ben Webster|arXiv (Cornell University)|Oct 5, 2011

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 83被引用 76

一句话总结

本文引入了一种分级的 quiver Schur 代数，作为来自 quiver 表示的几何卷积代数，为 cyclotomic $q$-Schur 代数提供了范畴化框架。它通过一个分级的细胞基和 $ω̂{Τ}e$ 的范畴化作用，建立了高阶 $q$-Fock 空间之典范基与 cyclotomic $q$-Schur 代数中 $q$-模拟分解数之间的精确对应关系。关键结果表明，在此对应关系下，不可约分解的投射模对应于典范基，而 Weyl 模对应于标准基。

ABSTRACT

We develop a graded version of the theory of cyclotomic q-Schur algebras, in the spirit of the work of Brundan-Kleshchev on Hecke algebras and of Ariki on q-Schur algebras. As an application, we identify the coefficients of the canonical basis on a higher level Fock space with q-analogues of the decomposition numbers of cyclotomic q-Schur algebras. We present cyclotomic q-Schur algebras as a quotient of a convolution algebra arising in the geometry of quivers; hence we call these quiver Schur algebras. These algebras are also presented diagrammatically, similar in flavor to a recent construction of Khovanov and Lauda. They are also manifestly graded and so equip the cyclotomic q-Schur algebra with a non-obvious grading. On the way we construct a graded cellular basis of this algebra, resembling the constructions for cyclotomic Hecke algebras by Mathas, Hu, Brundan and the first author. The quiver Schur algebra is also interesting from the perspective of higher representation theory. The sum of Grothendieck groups of certain cyclotomic quotients is known to agree with a higher level Fock space. We show that our graded version defines a higher q-Fock space (defined as a tensor product of level 1 q-deformed Fock spaces). Under this identification, the indecomposable projective modules are identified with the canonical basis and the Weyl modules with the standard basis. This allows us to prove the already described relation between decomposition numbers and canonical bases.

研究动机与目标

• 使用几何和图示方法构造 cyclotomic $q$-Schur 代数的分级版本。
• 建立高阶 $q$-Fock 空间之典范基与 cyclotomic $q$-Schur 代数中 $q$-模拟分解数之间的精确对应关系。
• 通过 quiver Schur 代数的 Grothendieck 群，为 $ω̂{Τ}e$ 在 $q$-Fock 空间上的作用提供范畴化实现。
• 证明该代数中的不可约分解投射模与 $q$-Fock 空间中的典范基向量相对应，而 Weyl 模与标准基向量相对应。

提出的方法

• 将 quiver Schur 代数构造为 quiver 表示的 Steinberg 簇上卷积代数的商代数。
• 使用受 Khovanov-Lauda-Rouquier 代数启发的图示方法定义代数，确保显式的分级结构。
• 为 cyclotomic $q$-Schur 代数引入一个分级的细胞基，其构造方式类似于 cyclotomic Hecke 代数中的构造。
• 利用 Demazure 算子和多重组合的组合学来定义在 $q$-Fock 空间上的作用。
• 将 quiver Schur 代数的某些 cyclotomic 商的 Grothendieck 群识别为高阶 $q$-变形 Fock 空间，其作为一级 $q$-Fock 空间的张量积实现。
• 证明 $q$-Fock 空间的典范基与代数中不可约分解投射模的类相对应。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否使用几何和图示方法构造 cyclotomic $q$-Schur 代数的分级版本？
• RQ2 cyclotomic $q$-Schur 代数中 $q$-模拟分解数与高阶 $q$-Fock 空间之典范基之间有何关系？
• RQ3 是否存在通过 quiver Schur 代数的 Grothendieck 群实现的 $ω̂{Τ}e$ 在 $q$-Fock 空间上的范畴化作用？
• RQ4 quiver Schur 代数中的不可约分解投射模是否与 $q$-Fock 空间中的典范基向量相对应？
• RQ5 $q$-Fock 空间的标准基能否作为 cyclotomic $q$-Schur 代数中 Weyl 模的类被实现？

主要发现

• quiver Schur 代数被构造为 quiver 表示的 Steinberg 簇上卷积代数的商代数，为 cyclotomic $q$-Schur 代数提供了几何实现。
• 该代数具有一个分级的细胞基，其被显式构造并尊重分级，从而实现了对分解数的范畴化研究。
• quiver Schur 代数的某些 cyclotomic 商的 Grothendieck 群同构于一个高阶 $q$-变形 Fock 空间，该空间被实现为一级 $q$-Fock 空间的张量积。
• 在 Grothendieck 群识别下，该代数中的不可约分解投射模精确对应于 $q$-Fock 空间中的典范基向量。
• Weyl 模对应于 $q$-Fock 空间中的标准基向量，而简单模的类与不可约分解投射模的类互为对偶。
• cyclotomic $q$-Schur 代数的 $q$-模拟分解数由 $q$-Fock 空间中从标准基到典范基的过渡矩阵给出，如定理 7.21 和推论 7.23 所确立。