[论文解读] Higher order Lagrange-Poincaré and Hamilton-Poincaré reductions

François Gay–Balmaz, Darryl D. Holm+1 more|arXiv (Cornell University)|Jul 1, 2014

Nonlinear Waves and Solitons参考文献 13被引用 5

一句话总结

本文通过在k阶切丛上发展变分和哈密顿约化框架，将几何力学推广至高阶系统。推导出高阶Lagrange-Poincaré与Hamilton-Poincaré方程，引入Ostrogradsky-Lie-Poisson与Ostrogradsky-Hamilton-Poincaré系统，并建立相应的泊松括号，实现了高阶机械系统中的对称性约化，适用于图像配准与数据同化等应用。

ABSTRACT

Motivated by the problem of longitudinal data assimilation, e.g., in the registration of a sequence of images, we develop the higher-order framework for Lagrangian and Hamiltonian reduction by symmetry in geometric mechanics. In particular, we obtain the reduced variational principles and the associated Poisson brackets. The special case of higher order Euler-Poincaré and Lie-Poisson reduction is also studied in detail.

研究动机与目标

• 将基于对称性的Lagrangian与Hamiltonian约化框架推广至Lagrangian依赖于时间导数最高至k阶的高阶机械系统。
• 在商空间 $ T^{(k)}Q/G $ 上推导出k阶Lagrange-Poincaré方程，推广经典约化框架。
• 当 $ Q = G $ 时，在 $ k\mathfrak{g} $ 上建立高阶Euler-Poincaré方程及其相关约束变分原理。
• 通过Ostrogradsky动量构造哈密顿对应形式，导出在 $ T^*(T^{(k-1)}Q)/G $ 上的Ostrogradsky-Hamilton-Poincaré方程。
• 推导出约化泊松括号结构，包括曲率与规范项，将规范化的Lie-Poisson括号推广至高阶系统。

提出的方法

• 利用k阶切丛 $ T^{(k)}Q $ 描述含高阶导数的系统，其通过至k阶的曲线等价类定义。
• 通过李群 $ G $ 在配置流形 $ Q $ 上的自由且适当的行动实现对称性约化，得到商空间 $ T^{(k)}Q/G $。
• 通过在 $ T^{(k)}Q/G $ 上的约束变分原理推导k阶Lagrange-Poincaré方程，推广一阶情形。
• 通过从 $ T^{(2k-1)}Q $ 到 $ T^*(T^{(k-1)}Q) $ 的Legendre变换引入Ostrogradsky动量，实现哈密顿形式化。
• 通过规范形式的约化，推导出在 $ T^*(T^{(k-1)}Q)/G $ 上的Ostrogradsky-Hamilton-Poincaré方程。
• 将约化泊松括号构作为标准括号之和，外加涉及伴随作用与曲率2-形式 $ \tilde{\mathcal{B}} $ 的附加项，推广规范化的Lie-Poisson结构。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何将经典的Lagrange-Poincaré与Hamilton-Poincaré约化框架推广至具有k阶Lagrangian的高阶机械系统？
• RQ2 当配置空间为李群 $ G $ 时，k阶Euler-Poincaré方程的显式形式为何？其与变分结构有何关联？
• RQ3 如何通过Ostrogradsky动量构造高阶系统的哈密顿形式？其导出的Ostrogradsky-Hamilton-Poincaré方程为何？
• RQ4 在 $ T^*(T^{(k-1)}Q)/G $ 上的约化泊松括号结构为何？其如何推广规范化的Lie-Poisson括号？
• RQ5 该框架对计算解剖学中纵向数据同化与图像配准等应用有何影响？

主要发现

• 本文在 $ T^{(k)}Q/G $ 上推导出k阶Lagrange-Poincaré方程，将经典的一阶方程推广至高阶导数情形。
• 当 $ Q = G $ 时，在 $ k\mathfrak{g} $ 上获得k阶Euler-Poincaré方程，为李群上高阶系统的对称性约化变分形式提供了基础。
• 哈密顿侧通过Ostrogradsky动量实现，导出在 $ T^*(T^{(k-1)}Q)/G $ 上的Ostrogradsky-Hamilton-Poincaré方程，推广了经典哈密顿方程。
• 约化泊松括号被构作为标准括号之和，外加涉及伴随作用与曲率的附加项，推广了规范化的Lie-Poisson结构。
• 在特殊情形下，该形式化退化为已知系统：当 $ k=1 $ 时退化为标准Hamilton-Poincaré方程；当 $ Q = G $ 时退化为Ostrogradsky-Lie-Poisson方程。
• 该形式化具有一致性，为未来研究非完整与v请继续。