[论文解读] Hitchin harmonic maps are immersions

Andrew Sanders|arXiv (Cornell University)|Jul 16, 2014

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 23被引用 5

一句话总结

本文证明了与Hitchin表示关联的等变调和映射在实代数群的分裂实形式中是浸入映射，建立了希格斯丛数据与调和映射几何性质之间的直接联系。通过将对称空间度量沿这些浸入映射拉回，作者构建了一个从Hitchin表示到曲面上同伦类黎曼度量的映射，从而在对称空间中得到了轨道增长熵的新下界。

ABSTRACT

In 1992, Hitchin used his theory of Higgs bundles to construct an important family of representations of the fundamental group of a closed, oriented surface of genus at least two into the split real form of a complex adjoint simple Lie group. These Hitchin representations comprise a component of the space of conjugacy classes of all such representations and are deformations of the irreducible Fuchsian representations which uniformize the surface. For any choice of marked complex structure on the surface and any Hitchin representation, we show that the corresponding equivariant harmonic map from the universal cover into the symmetric space is an immersion. Pulling back the Riemannian metric on the symmetric space, we construct a map from the space of Hitchin representations to the space of isotopy classes of Riemannian metrics on the surface. As an application of this procedure, we obtain a new lower bound on the exponential growth rate of orbits in the symmetric space under the action of the image of a Hitchin representation.

研究动机与目标

• 证明与Hitchin表示关联的等变调和映射是浸入映射，从而揭示来自希格斯丛数据的几何结构。
• 通过拉回对称空间度量，构建从Hitchin表示空间到曲面上同伦类黎曼度量空间的映射。
• 推导出在Hitchin表示作用下，对称空间中轨道增长的指数增长率的新下界。
• 证明调和映射的几何数据可直接从希格斯丛不变量中提取，无需依赖间接的分析方法。

提出的方法

• 利用非交换Hodge对应，将Hitchin表示与具有固定复结构的黎曼曲面上的稳定希格斯丛相关联。
• 应用Corlette关于等变调和映射的存在性与唯一性定理，保证从万有覆盖到对称空间G/K存在唯一的调和映射。
• 通过分析希格斯丛数据中的微分的全纯部分，证明调和映射的微分是单射（即映射为浸入）。
• 通过调和映射将G-不变的G/K上的黎曼度量拉回，得到万有覆盖上的黎曼度量，该度量在提升群作用下不变。
• 证明所诱导的度量可下降到商曲面Σ，从而得到一个到同伦类黎曼度量空间的良定义映射。
• 利用椭圆型PDE的正则性理论和希格斯丛参数的解析依赖性，建立所得映射的实解析性。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于曲面的任意复结构选择，与Hitchin表示关联的等变调和映射是否始终保持为浸入？
• RQ2 能否通过调和映射的拉回，将Hitchin表示的几何结构编码为曲面上的黎曼度量？
• RQ3 在Hitchin表示作用下，对称空间中轨道增长的渐近行为如何？是否可获得下界？
• RQ4 从Hitchin表示到度量的映射在映射类群作用下如何表现？

主要发现

• 任何Hitchin表示关联的等变调和映射都是浸入映射，即其微分处处单射。
• 通过调和映射拉回对称空间度量，可在曲面Σ上得到一个良定义的黎曼度量，其同伦类唯一。
• 该构造定义了一个从Hitchin表示空间（模共轭）到Σ上同伦类黎曼度量空间的映射，且在映射类群作用下保持等变。
• 所得映射为实解析映射，其依据为调和映射对希格斯丛参数的解析依赖性及椭圆正则性。
• 通过拉回度量的几何性质，获得了在Hitchin表示作用下，G/K中轨道指数增长速率的新下界。
• 该构造一般不是单射，因为通过旋转希格斯场得到的调和映射族会产生等距的拉回度量。