[论文解读] Hitchin's connection, Toeplitz operators and symmetry invariant deformation quantization

Jørgen Ellegaard Andersen|ArXiv.org|Nov 6, 2006

Geometry and complex manifolds参考文献 25被引用 11

一句话总结

该论文在拓扑约束下证明了预量化的紧致辛流形上刚性全纯族凯勒结构的希钦联络的存在性。通过托普利茨算子，构造了光滑函数上的形式联络，其平行移动诱导了贝雷津-托普利茨形变量子化的等价关系。当希钦联络为射影平坦时，该形式联络是平坦的，从而得到对称性不变的形变量子化；在平坦 SU(n)-联络的模空间中，这导致了辛叶的映射类群不变量子化。

ABSTRACT

We establish that Hitchin's connection exist for any rigid holomorphic family of Kahler structures on any compact pre-quantizable symplectic manifold which satisfies certain simple topological constraints. Using Toeplitz operators we prove that Hitchin's connection induces a unique formal connection on smooth functions on the symplectic manifold. Parallel transport of this formal connection produces equivalences between the corresponding Berezin-Toeplitz deformation quantizations. - In the cases where the Hitchin connection is projectively flat, the formal connections will be flat and we get a symmetry-invariant formal quantization. If a certain cohomological condition is satisfied a global trivialization of this algebra bundle is constructed. As a corollary we get a symmetry-invariant deformation quantization. Finally, these results are applied to the moduli space situation in which Hitchin's originally constructed his connection. First we get a proof that the Hitchin connection in this case is the same as the connection constructed by Axelrod, Della Pietra and Witten. Second we obtain in this way a mapping class group invariant formal quantization of the smooth symplectic leaves of the moduli space of flat SU(n)-connections on any compact surface.

研究动机与目标

• 在特定拓扑约束下，证明预量化的紧致辛流形上刚性全纯族凯勒结构的希钦联络的存在性。
• 证明希钦联络通过托普利茨算子在光滑函数上诱导出形式联络，且其平行移动诱导了贝雷津-托普利茨形变量子化之间的等价关系。
• 证明当希钦联络为射影平坦时，诱导出的形式联络是平坦的，从而得到对称性不变的形式量子化。
• 在上同调条件成立下，构造代数丛的全局平凡化，从而得到全局对称性不变的形变量子化。
• 将结果应用于平坦 SU(n)-联络的模空间，证明其与亚克索尔德-德拉萨皮特拉-维滕联络等价，并得到辛叶的映射类群不变量子化。

提出的方法

• 将预量化的紧致辛流形 (M,ω) 上的凯勒结构刚性族定义为：对参数空间 T 上的所有向量场 V，均有 ∂̄σ(G(V)σ) = 0。
• 利用曲率为 F∇ = iω/(2π) 的预量子线丛 (L, ∇)，定义全纯截面 Hσ(k) = H⁰(Mσ, Lᵏ)，其构成平凡丛 T × C∞(M, Lᵏ) 的光滑子丛 H(k)。
• 构造 H(k) 上的希钦联络 Ĥ∇，定义为 Ĥ∇V = Ĥ∇Vt − u(V)，其中 u(V) 是一个二阶微分算子，表达式为 u(V)(s) = (1/(2k+n)) { (1/2)ΔG(V)(s) − ∇G(V)dF(s) + 2kV′[F]s }。
• 证明当联络为射影平坦时，由希钦联络在光滑函数上诱导的形式联络是平坦的，从而得到对称性不变的形变量子化。
• 将形式联络应用于紧致曲面 Σ 上平坦 SU(n)-联络的模空间，证明希钦联络与亚克索尔德、德拉萨皮特拉和维滕构造的联络一致。
• 利用泰希米勒空间的单连通性及诱导自同态联络的平坦性，构造代数丛的全局平凡化，从而得到映射类群不变的形式量子化。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种条件下，预量化的紧致辛流形上刚性全纯族凯勒结构的希钦联络存在？
• RQ2 希钦联络如何在光滑函数上诱导出形式联络，其与贝雷津-托普利茨形变量子化有何关系？
• RQ3 在何种情况下形式联络是平坦的，这对对称性不变的形变量子化意味着什么？
• RQ4 在上同调条件成立下，能否构造代数丛的全局平凡化，这将对量子化产生何种结果？
• RQ5 在平坦 SU(n)-联络的模空间中，希钦联络是否与亚克索尔德-德拉萨皮特拉-维滕联络一致，且是否能导出映射类群不变的量子化？

主要发现

• 对于满足拓扑约束 c₁(M,ω) = n[ω] ∈ H²(M,Z) 且 H¹(M,R) = 0 的任意预量化的紧致辛流形，其刚性全纯族凯勒结构的希钦联络存在。
• 当希钦联络为射影平坦时，其在光滑函数上诱导的形式联络是平坦的，从而得到对称性不变的形式量子化。
• 在 H¹(Γ, C∞₀(M)) 和 H¹(M,R) 均为零的条件下，存在 Γ-不变的两个 Γ-不变 *-乘积之间的等价关系，表明在平凡交换子条件下，该量子化具有唯一性。
• 在紧致曲面 Σ 上平坦 SU(n)-联络的模空间中，希钦联络与亚克索尔德、德拉萨皮特拉和维滕构造的联络一致。
• 在自同态丛上诱导的联络是平坦的，且由于泰希米勒空间的单连通性，构造了代数丛的全局平凡化。
• 因此，对于平坦 SU(n)-联络模空间的每个光滑辛叶，均得到了映射类群不变的形式形变量子化。